数值分析(研)试题答案

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1、沈阳航空航天大学研究生试卷（A）2011-2012学年第一学期课程名称：数值分析出题人:王吉波审核人:一、填空题（本题40分每空4分）1．设为节点的n次基函数，则。2．已知函数，则三阶差商=0。3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数，则。4．用迭代法解线性方程组Ax=b时，迭代格式收敛的充分必要条件是或B的谱半径小于1。5．设矩阵，则A的条件数=3。6.正方形的边长约为100cm，则正方形的边长误差限不超过0.005cm才能使其面积误差不超过1。7.要使求积公式具有2次代数精确度，则2/3，3/4。8

2、.用杜利特尔（Doolittle）分解法分解，，则，二、（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式的的系数是6，试确定数据y。答案：利用Lagrange插值多项式，及基函数的表达式可知的系数为+++（5分）代入有关数据得解得y=4.25.（5分）三、（15分）试导出计算的Newton迭代格式，使公式中（对）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。答案：将计算等价化为求的正根。而此时有，（5分）故计算的Newton迭代格式为（5分）迭代函数，故迭代

3、法局部收敛。（5分）四、（15分）已知。（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式；（2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算。答案：（1）过这3个点的插值多项式故，其中，故所求的插值型求积公式为（5分）（2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有2次代数精确度。再将代入上述求积公式，有故上述求积公式具有3次代数精确度。（5分）（3）（5分）五、（10分）给定方程组判定Jacobi和Gauss-Seidel方法的收敛性。答案：Jacobi迭代矩阵为

4、；（2分）由于，故Jacobi迭代收敛。（3分）Gauss-Seidel迭代矩阵为；（2分）故，故Gauss-Seidel迭代收敛。（3分）六、（10分）定义内积，试在中寻求对于的最佳平方逼近多项式。答案：取，经计算得法方程组为。（5分）解得，故的最佳平方逼近多项式为。（5分）