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1、沈阳航空航天大学研究生试卷（A）2011-2012学年第一学期课程名称：数值分析出题人:王吉波审核人:一、填空题（本题40分每空4分）1,ij1．设lj(x)(j0,1,,n)为节点x0,x1,,xn的n次基函数，则lj(xi)。0,ij22．已知函数f(x)xx1，则三阶差商f[1,2,3,4]=0。(3)1(3)(3)3(3)13．当n=3时，牛顿-柯特斯系数C0,C1C2，则C3。888(k1)(k)4．用迭代法解线性方程组Ax=b时，迭代格式xBxf,k0,1,2,收敛的充分必要条件是(B)1或B的谱半径小于1。
2、125．设矩阵A，则A的条件数Cond(A)2=3。216.正方形的边长约为100cm，则正方形的边长误差限不超过0.005cm才能使2其面积误差不超过1cm。117.要使求积公式f(x)dxf(0)A1f(x1)具有2次代数精确度，则04x12/3，A13/4。8.用杜利特尔（Doolittle）分解法分解ALU，10009189-27210018450-45其中A，则L1-210，901269227-45913531139189-2709-189U0081540009二、（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y）
3、，（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式P3(x)3的x的系数是6，试确定数据y。答案：利用Lagrange插值多项式，P3(x)L3(x)f(x0)l0(x)f(x1)l1(x)f(x2)l2(x)f(x3)l3(x)3及基函数的表达式可知x的系数为f(x0)f(x1)+(x0x1)(x0x2)(x0x3)(x1x0)(x1x2)(x1x3)f(x2)f(x3)++(x2x0)(x2x1)(x2x3)(x3x0)(x3x1)(x3x2)（5分）代入有关数据得y32600.5(0.5)(1.5)10.5(1)21.
4、51解得y=4.25.（5分）1三、（15分）试导出计算(a0)的Newton迭代格式，使公式中（对xn）既无开方，又无a除法运算，并讨论其收敛性。11答案：将计算(a0)等价化为求a0的正根。2ax1'2而此时有f(x)a,f(x)，（5分）23xx1故计算(a0)的Newton迭代格式为a1a2xn3a33a2xn1xnxnxn(xn)xn（5分）222223xn3a21332迭代函数(x)(x)x,x*,'(x)ax
5、'(x*)
6、01，故迭代法局部收22a22敛。（5分）113四、（15分）已知x0,x1,x2。4
7、24（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式；（2）指明求积公式所具有的代数精确度；12（3）用所求公式计算xdx。0答案：（1）过这3个点的插值多项式(xx1)(xx2)(xx0)(xx2)(xx0)(xx1)P2(x)f(x0)f(x1)f(x2)故(x0x1)(x0x2)(x1x0)(x1x2)(x2x0)(x2x1)211f(x)dxP2(x)dxAkf(xk)，其中00k013(x)(x)1(xx1)(xx2)1242A0dxdx0(xx)(xx)0111330102()()424412
8、A1,A2，故所求的插值型求积公式为3311113f(x)dx[2f()f()2f()]（5分）03424（2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有2次代数精确度。再将34f(x)x,x代入上述求积公式，有1111133333xdx[2()()2()]4034241111134444xdx[2()()2()]053424故上述求积公式具有3次代数精确度。（5分）1111312222（3）xdx[2()()2()]（5分）03424320x12x23x324五、（10分）给定方程组x18x2x3122x13x2
9、15x330判定Jacobi和Gauss-Seidel方法的收敛性。130102011答案：Jacobi迭代矩阵为BJ0；（2分）882101551由于(BJ)1，故Jacobi迭代收敛。（3分）302403601Gauss-Seidel迭代矩阵为BG030255；（2分）240003831故(BG)1，故Gauss-Seidel迭代收敛。（3分）4124六、（10分）定义内积(f,g)f(x)g(x)dx，试在H1span{1,x,x}中寻求对于1f(x)
10、x
11、的最佳平方逼近多项式p(x)。2212a035242221
12、答案：取01,1x,2x，经计算得法方程组为a1。（5分）35722221a2579315105105解得a0,a1,a2，故f(x)
13、x
14、的最佳平方逼近多项式为128641281510521054p(x)xx。12864128（5分）
