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1、沈阳航空航天大学研究生试卷（A）2011-2012学年第一学期课程名称：数值分析出题人:王吉波审核人:一、填空题（本题40分每空4分）1．设lj(x)(j0,1,,n)为节点x0,x1,,xn的n次基函数，则lj(xi)1,ij。0,ij2．已知函数f(x)x2x1，则三阶差商f[1,2,3,4]=0。3．当n=3时，牛顿(3)1(3)(3)3(3)1。-柯特斯系数C0,C1C28，则C3884．用迭代法解线性方程组Ax=b时，迭代格式x(k1)Bx(k)f,k0,1,2,收敛的充分必要条件是(B)1或B的谱半径小于1。5A12，则A的条件数Cond(A)2=3。．设矩阵216.正方形
2、的边长约为100cm，则正方形的边长误差限不超过0.005cm才能使其面积误差不超过1cm2。11f(0)A1f(x1)具有2次代数精确度，则7.要使求积公式f(x)dx04x12/3，A13/4。9189-278.用杜利特尔（Doolittle）分解法分解A其中A18450-45，LU，90126927-45913510009189-27210009-189则L1-210，U081542031100093二、（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数是6，试确定数据y。答案：利用Lagrange插值多项式，P3(
3、x)L3(x)f(x0)l0(x)f(x1)l1(x)f(x2)l2(x)f(x3)l3(x)及基函数的表达式可知x3的系数为f(x0)+f(x1)(x0x1)(x0x2)(x0x3)x0)(x1x2)(x1x3)(x1+f(x2)+f(x3)x0)(x2x1)(x2x0)(x3x1)(x3x2)(x2x3)(x3（5分）代入有关数据得60y32(0.5)(1.5)10.5(1)21.510.5解得y=4.25.（5分）三、（15分）试导出计算1(a0)的Newton迭代格式，使公式中（对xn）既无开方，又无a除法运算，并讨论其收敛性。答案：将计算1(a0)等价化为求a10的正根。a
4、12x2f(x)a'(x)（5分）而此时有x2,fx3，1(a故计算0)的Newton迭代格式为aa1xn23a33a2（5分）xn1xn22xn2xn(22xn)xnxn3迭代函数(x)(3a2)x,x*1,332
5、'(*)
6、01，故迭代法局部收22x'(x)axxa22敛。（5分）四、（15分）已知x01,x11,x23。424（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式；（2）指明求积公式所具有的代数精确度；（3）用所求公式计算1x2dx。0答案：（1）过这3个点的插值多项式P2(x)(xx1)(xx2)f(x0)(xx0)(xx2)(xx0)(xx1)(x0
7、x1)(x0x2)(x1x0)(x1f(x1)f(x2)故x2)(x2x0)(x2x1)112f(x)dxP2(x)dxAkf(xk)，其中00k0A01(xx1)(xx2)dx1(x1)(x3)20(x0x1)(x0x2)24dx011)(13)3(42441,A22A1，故所求的插值型求积公式为3311113（5分）f(x)dx[2f()f()2f()]03424（2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有2次代数精确度。再将f(x)x3,x4代入上述求积公式，有3)3]11x3dx1[2(1)3(1)32(403424x4dx111[2(1)4(1)42(3)4]503
8、424故上述求积公式具有3次代数精确度。（5分）（3）11[2(1)2(1)22(3)2]1（5分）x2dx03424320x12x23x324五、（10分）给定方程组x18x2x3122x13x215x330判定Jacobi和Gauss-Seidel方法的收敛性。0131020答案：Jacobi迭代矩阵为BJ101（28；分）8210155由于(BJ)11，故Jacobi迭代收敛。（3分）310240360Gauss-Seidel迭代矩阵为BG030255；（2分）24000383故(BG)11，故Gauss-Seidel迭代收敛。（3分）4六、（10分）定义内积(f,g)1span
9、{1,x2,x4}中寻求对于f(x)g(x)dx，试在H11f(x)
10、x
11、的最佳平方逼近多项式p(x)。222a0135答案：取01,1x2,2x4，经计算得法方程组为222a11。（5分）3572222a215793解得a015,a1105,a2105，故f(x
12、)x
13、的最佳平方逼近多项式为12864128p(x)15105x2105x4。12864128（5分）
