1999年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)

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1、1999年全国硕士研究生入学统一考试数二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)txe=sin2t(1)曲线，在点(0,1)处的法线方程为tyet=cos23dy(2)设函数yyx=()由方程ln(x+=+y)xysinx确定，则=dxx=0x+5(3)dx=∫2xx−+6132x13(4)函数y=在区间,上的平均值为−x2222x(5)微分方程yye′′−=4的通解为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一

2、个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)1cos−x,0>x(1)设fx()=x，其中gx()是有界函数，则fx()在x=0处()xgx2(),0≤x(A)极限不存在.(B)极限存在，但不连续.(C)连续，但不可导.(D)可导.5xxsintsin1(2)设αβ(x)=∫∫dt,1=+(x)(t)tdt，则当x→0时α(x)是β(x)的()00t(A)高阶无穷小(B)低阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(D)等价无穷小(3)设fx()是连续函数，Fx()是fx()的原函数，则()(

3、A)当fx()是奇函数时，Fx()必是偶函数.(B)当fx()是偶函数时，Fx()必是奇函数.(C)当fx()是周期函数时，Fx()必是周期函数.(D)当fx()是单调增函数时，Fx()必是单调增函数.(4)“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在正整数N，当nN≥时，恒有xa−≤2ε”是数列{x}nn收敛于a的()(A)充分条件但非必要条件.(B)必要条件但非充分条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分条件又非必要条件.xxxx−−−−212322212223xxxx−−−−(5)记行列式为fx()，则方程f

4、x()=0的根的个数为()33324535xxxx−−−−4435743xxxx−−−(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.三、(本题满分5分)1tan+xx−+1sin求lim.2x→0xln1(+−xx)四、(本题满分6分)+∞arctanx计算dx.∫1x2五、(本题满分7分)22(y++xy)dxxdy−=>0(x0)求初值问题的解.y=0x=1六、(本题满分7分)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N，抓

5、斗抓起的污泥重2000N，提升速度为3/ms,在提升过程中，污泥以20Ns/的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明：①11NmJ×=1;其中mNsJ,,,分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)七、(本题满分8分)3x已知函数y=，求2(x−1)(1)函数的增减区间及极值；(2)函数图形的凹凸区间及拐点(3)函数图形的渐近线.八、(本题满分8分)设函数fx()在闭区间[−1,1]上具有三阶连续导数，且f(−=10)，f(1

6、1)=，f′(00)=，证明：在开区间(−1,1)内至少存在一点ξ，使f′′′(ξ)=3.九、(本题满分9分)设函数yxx()(≥0)二阶可导，且yx′()>0，y(01)=.过曲线yyx=()上任意一点Pxy(,)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0,x]上以yyx=()为曲边的曲边梯形面积记为S，并设2SS−恒为1，求此曲线212yyx=()的方程.十、(本题满分6分)nn设fx()是区间[0,+∞)上单调减少且非负的连续函数，an=∑fk()−∫fxdx(

7、)1i=1(n=1,2,)，证明数列{an}的极限存在.十一、(本题满分8分)111−*1−*设矩阵A=−111，矩阵X满足AXA=+2X，其中A是A的伴随矩阵，111−求矩阵X.十二、(本题满分5分)TTTT设向量组α=(1,1,1,3)，α=−−(1,3,5,1)，α=−+(3,2,1,p2)，α=−−(2,6,10,p)1234T(1)p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α=(4,1,6,10)用αααα,,,1234线性表出；(2)p为何值时，该向量组线性相关？并此时求

8、出它的秩和一个极大线性无关组.1999年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析一、填空题(1)【答案】yx+−=210【详解】点(0,1)对应t=0，则曲线在点(0,1)的切线斜率为dyttdydtecoste−−sintcostsint===，dxdxetttetttsin2++2cos2sin22cos2dtdy1把t=0代入得=，所以改点处法线斜率为−2，故所求法线方程为yx+−=210.dx2(2)【答案