2011年考研数学一真题及解析(公式及答案修正版)

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1、2011年考研数学试题（数学一）一、选择题2341、曲线y=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)的拐点是（）（A）（1，0）（B）（2，0）（C）（3，0）（D）（4，0）【答案】C【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。234【解析】由y=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)可知1,2,3,4分别是234yxx=−−(12340)()(x−−=)(x)的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知y′(1)≠0，yyy′′′(2)=(3)=(4)=0y

2、′′(2)≠0，yy′′(3)=′′(4)=0，yy′′′(3)≠=0,′′′(4)0，故（3，0）是一拐点。n2、设数列{an}单调减少，liman=0，Sn=∑ak(n=1,2)无界，则幂级数n→∞k=1∞n∑axn(−1)的收敛域为（）（A）(-1，1]（B）[-1，1)（C）[0，2)n=1（D）(0，2]【答案】C【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。n∞n【解析】Sn=∑ak(n=1,2)无界，说明幂级数∑axn(−1)的

3、收敛半径R≤1；k=1n=1∞∞{}nnan单调减少，liman=0，说明级数∑an(−1)收敛，可知幂级数∑axn(−1)的收n→∞n=1n=1敛半径R≥1。∞n因此，幂级数∑axn(−1)的收敛半径R=1，收敛区间为(0,2)。又由于x=0时幂级数n=1收敛，x=2时幂级数发散。可知收敛域为[0,2)。3、设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)>0，f(0)′=0，则函数z=f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A）f(0)>1，f′′(0)>0(B)f(0)>1，f

4、′′(0)<0(C)f(0)<1，f′′(0)>0(D)f(0)<1，f′′(0)<0【答案】C【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。fx()fx′()【解析】由z=f(x)lnf(y)知z′′=fxfyz′′()ln(),=fy()，z′′=fy′()xyxyfy()fy()2fyfy′′()()(())−fy′z′′=fxfy′′()ln()，z′′=fx()xxyy2fy()f′(0)所以zf′′=′(0)=0，zff′′=′′(0)ln(0)，xyxxx=

5、0f(0)x=0y=0y=02fff′′(0)(0)((0))−′zf′′=(0)=f′′(0)yy2x=0f(0)y=0要使得函数z=f(x)lnf(y)在点(0,0)处取得极小值，仅需ff′′(0)ln(0)>0，fff′′(0)ln(0)⋅>′′(0)0所以有f(0)>1，f′′(0)>0πππ4、设I=∫∫∫444lnsinxdxJ,=lncotxdxK,=lncosxdx，则IJK,,的大小关系是()000（A）IJK<<（B）IKJ<<（C）JIK<<（D）KJI<<【答案】B【考点分析】本题

6、考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。π2【解析】x∈(0,)时，0<<<

7、）PP12122121【答案】D【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知AP=B，PBE=，所以12−1−−11−1AB=PPPP==P，故选（D）12121∗Τ6、设Α=(α,α,α,α)是4阶矩阵，Α为Α的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组Αx=01234∗的一个基础解系，则Αx=0基础解系可为（）(A)α，α(B)α，α(C)α，α，α(D)α，α，α1312123234【答案】D【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系，

8、需要综合应用秩，伴随矩阵等方面的知识，有一定的灵活性。∗∗【解析】由Αx=0的基础解系只有一个知rA()3=，所以rA()1=，又由AAAE==0∗∗知，αααα,,,都是Αx=0的解，且Αx=0的极大线生无关组就是其基础解系，又12341100A=(αααα1234,,,)=+=αα130，所以αα13,线性相关，故ααα124，，或1100α，α，α为极大无关组，故应选（D）