2019_2020学年高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大（小）值与导数练习（含解析）新人教A版

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1、3.3.3函数的最大（小）值与导数[学生用书P133(单独成册)])[A　基础达标]1．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2，1]上的最大值、最小值分别是(　　)A．12，－8B．1，－8C．12，－15D．5，－16解析：选A.y′＝6x2－6x－12，由y′＝0⇒x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2时，y＝1；x＝－1时，y＝12；x＝1时，y＝－8.所以ymax＝12，ymin＝－8.故选A.2．函数f(x)＝－x在区间[0，＋∞)上(　　)A．有最大值，无最小值B．有最大值，有最小值C．无最大值，无最小值D．无最大值，有最小值解析：选A.由已知得f(x)的定义域为[0，＋∞)

2、，f′(x)＝－，令f′(x)＞0，得f(x)的单调增区间为[0，1)；令f′(x)＜0，得f(x)的单调减区间为(1，＋∞)．所以f(x)在区间[0，＋∞)上有最大值，无最小值．3．函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为(　　)A．0B．C.D．解析：选B.y′＝1－2sinx，令y′＝0，得sinx＝.因为x∈，所以x＝.由y′＞0得sinx＜，所以0≤x＜；由y′＜0得sinx＞，所以＜x≤，所以原函数在上单调递增，在上单调递减．所以当x＝时取最大值，故应选B.4．若函数y＝x3＋x2＋m在[－2，1]上的最大值为，则m等于(　　)A．0B．1C．2D．解析：选C.y′＝′

3、＝3x2＋3x＝3x(x＋1)，由y′＝0，得x＝0或x＝－1.f(0)＝m，f(－1)＝m＋.又因为f(1)＝m＋，f(－2)＝－8＋6＋m＝m－2，所以f(1)＝m＋最大，所以m＋＝，所以m＝2.5．函数f(x)＝在上的最小值与最大值的和为(　　)A.B．C．1D．0解析：选A.f′(x)＝＝，x∈，当f′(x)＝0时，x＝0；当f′(x)<0时，－≤x<0；当f′(x)>0时，0

4、__．解析：先求出x＞0时，f(x)＝－1的最小值．当x＞0时，f′(x)＝，所以x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数单调递增，所以x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，所以由已知条件得h(x)的最大值为1－e.答案：1－e7．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最小值为________．解析：f′(x)＝＝，当x∈[2，4]时，f′(x)＜0，即函数f(x)在x∈[2，4]上是单调递减函数，故当x＝4时，函数f(x)有最小值.答案：8．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n则m－n＝_____

5、___．解析：因为f′(x)＝3x2－3，所以当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0;当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.所以f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．所以f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n.又因为f(0)＝－a，f(3)＝18－a，所以f(0)＜f(3)．所以f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，所以m－n＝18－a－(－2－a)＝20.答案：209．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：(1)实数a的值；(2)f(x)在区间[－1，3]上的最大值和最小值．解：(1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，f(x)在x

6、＝2处有极值，所以f′(2)＝0，即3×4＋4a＝0，所以a＝－3.(2)由(1)知a＝－3，所以f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－1(－1，0)0(0，2)2(2，3)3f′(x)＋0－0＋f(x)－22－22由上表可知f(x)在区间[－1，3]上的最大值是2，最小值是－2.[B　能力提升]10．(2019·衡水高二检测)已知函数f(x)＝ax4－4ax3＋b(a＞0)，x∈[1，4]，f(x)的最大值为3，最小值为－6，则a＋b＝(　　)A.B．C.D．解析：选C.f

7、′(x)＝4ax3－12ax2.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝0(舍去)．当1≤x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x≤4时，f′(x)＞0，故x＝3为极小点，也是最小值点．因为f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝b，所以f(x)的最小值为f(3)＝b－27a，最大值为f(4)＝b，所以，解得，所以a＋b＝.11．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是________．解析：因为2x(x－a)＜1，所以