2019秋高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大（小）值与导数练习（含解析）新人教A版

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1、3.3.3函数的最大（小）值与导数A级　基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是(　　)A．函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B．闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C．若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D．若函数在给定区间上有最大(小)值，则有且仅有一个最大(小)值，但若有极值，则可有多个极值解析：由极值与最值的区别知选D.答案：D2．函数f(x)＝的最大值为(　　)A．e－1B．eC．e2D．10解析：令f′(x)＝＝0(x>0)，解得x＝e.当x>e时，f′(x)

2、<0；当00，所以f(x)极大值＝f(e)＝e－1，在定义域内只有一个极值，所以f(x)max＝e－1.答案：A3．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为(　　)A.B．1C．不存在D．0解析：f′(x)＝x－＝，且x>0，令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0

3、，可得a＝x2，又因为x∈(0，1)，所以0＜a＜1.答案：B5．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为(　　)A．f(a)－g(a)B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b)D．f(b)－g(a)解析：令u(x)＝f(x)－g(x)，则u′(x)＝f′(x)－g′(x)＜0，所以u(x)在[a，b]上为减函数，所以u(x)的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．答案：A二、填空题6．函数f(x)＝lnx－x在(0，e)上的最大值为________．解

4、析：f′(x)＝－1＝(x>0)，令f′(x)>0得01，所以f(x)在(0，1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．所以当x＝1时，f(x)有最大值f(1)＝－1.答案：－17．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．解析：由题意，得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32.答案：328．如果函数f(x

5、)＝x3－x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是________．解析：f′(x)＝3x2－3x，令f′(x)＝0得x＝0，或x＝1.因为f(0)＝a，f(－1)＝－＋a，f(1)＝－＋a，所以f(x)max＝a＝2.所以f(x)min＝－＋a＝－.答案：－三、解答题9．已知函数f(x)＝＋2lnx，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．解：由f(x)＝＋2lnx，得f′(x)＝.又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0

6、x)<0；当x>时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝lna＋1.要使f(x)≥2恒成立，需lna＋1≥2恒成立，则a≥e.所以实数a的取值范围是[e，＋∞)．10．(2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝(2＋x＋ax2)ln(1＋x)－2x.(1)若a＝0，证明：当－10时，f(x)>0；(2)若x＝0是f(x)的极大值点，求a.(1)证明：当a＝0时，f(x)＝(2＋x)ln(1＋x)－2x，f′(x)＝ln(1＋x)－.设函数g(x)＝f′(x)＝ln(1＋x)－，

7、则g′(x)＝.当－10时，g′(x)>0，故当x>－1时，g(x)≥g(0)＝0，当且仅当x＝0时，g(x)＝0，从而f′(x)≥0，当且仅当x＝0时，f′(x)＝0.所以f(x)在(－1，＋∞)单调递增．又f(0)＝0，故当－10时，f(x)>0.(2)解：(ⅰ)若a≥0，由(1)知，当x>0时，f(x)≥(2＋x)ln(1＋x)－2x>0＝f(0)，这与x＝0是f(x)的极大值点矛盾．(ⅱ)若a<0，设函数h(x)＝＝ln(1＋x)－.由于当

8、x

9、

10、2>0，故h(x)与f(x)符号相同．又h(0)＝f(0)＝0，故x＝0是f(x)的极大值点，当且仅当x＝0是h(x)的极大值点．h′(x)＝－＝.若6a＋1>0，