2018版高中数学第三章导数及其应用3.3.3函数的最大(小)值与导数学案新人教a版选修1

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1、3.3.3　函数的最大(小)值与导数1.能够区分极值与最值两个不同的概念.(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法.(重点)3.能根据函数的最值求参数的值.(难点)[基础·初探]教材整理　函数的最大(小)值与导数阅读教材P96函数最大(小)值与导数～P98第一段，完成下列问题.1.函数f(x)在区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.2.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)

2、求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值.(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值.(　　)(2)开区间上的单调连续函数无最值.(　　)(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.(　　)(4)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值.(　　)【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×[小组合作型]求已知函数的最值　求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,

3、4]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5].【精彩点拨】　求导→列表→下结论.【自主解答】　(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2(2,4)4f′(x)＋0－0＋f(x)－37↗极大值3↘极小值－5↗35∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1).∵在区间[2,5]

4、上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.1.求函数最值时，若函数f(x)的定义域是闭区间，则需比较极值点处函数值与端点处函数值的大小，才能确定函数的最值.2.若f(x)的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点.[再练一题]1.(1)函数y＝x－sinx，x∈的最大值是(　　)A.π－1B.－1C.πD.π＋1【解析】　y′＝1－cosx＞0，∴y＝x－sinx在x∈上单调递增，∴ymax＝π－sinπ

5、＝π.【答案】　C(2)求下列各函数的最值.①f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，3]；②f(x)＝x2－(x＜0).【导学号：97792048】【解】　①f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x).令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－(－，－1)－1(－1，1)1(1,3)3f′(x)－0＋0－f(x)0↘极小值↗极大值↘－18所以x＝1和x＝－1是函数在[－，3]上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－)＝0，f(3)＝－18，所以f(x)max＝2，f(x

6、)min＝－18.②f′(x)＝2x＋.令f′(x)＝0，得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,0)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值.含参数的函数的最值问题　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.【精彩点拨】　求导→讨论a的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值.【自主解答】　f′(x)＝3x2－2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当≤0，即a≤0时，f(x)在[0

7、,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max＝综上所述，f(x)max＝由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化.所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解.[再练一题]2.已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值.【解】　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，