正则化方法求解变分不等式

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1、第28卷第3期2010年6月中国民航大学学报JOURNALOFCIVILAVIATIoNUNⅣERSITYOFCmNAV01．28No．3June2010正则化方法求解变分不等式何松年，左楠楠(中国艮航大学理学院，天津300300)摘要：基于正则化思想，分别对于带有Lipsehitz连续单调映像以及带有Lipschitz连续伪压缩映像的补算子的变分不等式，建立了隐式计算格式，并且证明了计算格式的强收敛性。本文结果改进了Hong—KunXu的相关结果。关键词：变分不等式；强单调；Lipschitz连续；伪压缩映像：Hilbert空间中图分类号：0177．91；0241．7文献标识码：A文章编号：

2、1674—5590(2010)03—0060--05RegularizationMethodforSolvingVariationalInequalitiesHESong-nian，ZUONan-nan(CollegeofScience，翻UC，rianjin300300，China)Abstract：Basedonregularizationideas，twoimplicitschemesareproposedforsolvingvariationalinequalitiesgovernedbyLipsehitzmonotonemappingsandcomplementoperatorsof

3、Lipschitzpseudo-contractivemappingsrespec·tively．Strongconvergencesoftheschemesareproved．ResultsofthispaperimproveHong-KunXu’Srelevantresults．Keywords：variationalinequality；stronglymonotone；Lipschitziancontinuity；pseudo—contractions；Hilbertspace1引言与预备知识设胃是一实Hilbert空间，其内积与范数分别表示为<·，·>和0·0，CCH非空闭凸，F：c

4、_。H为一非线性算子。变分不等式问题的一般提法为：寻求戈木∈c，使得<，k术，z一茗木>≥OYxEC(1)常用vI(c，F)表示变分不等式问题。变分不等式最初由Stampacchiatl】于1964年引入并研究，近年来，变分不等式已广泛应用于结构分析、经济学、优化问题、运营管理以及工程科学等领域∞。称如下变分不等式问题：寻求菇拳∈C，使得≥0，Yx∈C成立为式(1)的共轭变分问题。一般地，假设y，(C，F)中F是强单调和Lipschitz连续的映像。首先回顾有关算子的几个定义：设F：C叶日，则1)称F是三一Lipschitz连续映像，如果存在常数L≥0，使得0屁一毋0≤L

5、I

6、z—Y0Yx，Y∈C特别地，当L=1时，称，为非扩张映像，当Lt>0Vx，Y∈C3)称F是严格单调的，如果恒成立>OV石，Y∈C且x#y4)称F是J，7一强单调的，如果存在常数’7>O，使得

7、

8、=inf忪一=0，此处的配叫口EC做彳在c上的度量投影，记作Ⅱ=Pc：。众所周知，日到c的度量投影磊为非扩张映像。为简明起见，将用马和与分别表示

9、弱收敛和强收敛，用，表示恒等算子，用‰(甄)表示一族点㈨(0a<1)的弱极限点集合，即∞。(％)={互：存在点列缸。)c㈨，使得tk川(1

10、}叶收稿B期：2009-09—21；修回日期：2009—1I--02基金项目：天津市自然科学基金项目(06YFJMJCl2500)作者简介：何松年(196，一)，男，山西太原人，教授，博士，研究方向为计算数学．第28卷第3期何松年，左楠楠：正则化方法求解变分不等式61∞)，并且戈。气l我们还要用到如下众所周知的结论。引理1设C是实Hilbert空间日的非空闭凸子集，对于戈∈H，z∈C，z=Pc戈的充要条件是a～：，'，一z>≤0，Vy∈C闸。引理2若F：C

11、一日是严格单调的，则y，(C，F)至多有一个解【IJ。引理3若F：C一日是强单调和Lipschitz连续的，则vi(C，F)有唯一解111。引理4设F：CoH为单调映像，并且沿线段弱连续，即当t_+0时，F【(1一th+ty]骂风，V石，，，∈C成立，则髫枣是式(1)之解当且仅当并木为其共轭变分问题之解【lIo引理5设C是实Hilbert空间日中的非空闭凸子集，名卑∈C是变分不等式VI(C，F)的