正则化方法求解变分不等式

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1、第28卷第3期2010年6月中国民航大学学报JOURNALOFCIVILAVIATIoNUNⅣERSITYOFCmNAV01.28No.3June2010正则化方法求解变分不等式何松年,左楠楠(中国艮航大学理学院,天津300300)摘要:基于正则化思想,分别对于带有Lipsehitz连续单调映像以及带有Lipschitz连续伪压缩映像的补算子的变分不等式,建立了隐式计算格式,并且证明了计算格式的强收敛性。本文结果改进了Hong—KunXu的相关结果。关键词:变分不等式;强单调;Lipschitz连续;伪压缩映像:Hilbert空间中图分类号:0177.91;0241.7文献标识码:A文章编号:

2、1674—5590(2010)03—0060--05RegularizationMethodforSolvingVariationalInequalitiesHESong-nian,ZUONan-nan(CollegeofScience,翻UC,rianjin300300,China)Abstract:Basedonregularizationideas,twoimplicitschemesareproposedforsolvingvariationalinequalitiesgovernedbyLipsehitzmonotonemappingsandcomplementoperatorsof

3、Lipschitzpseudo-contractivemappingsrespec·tively.Strongconvergencesoftheschemesareproved.ResultsofthispaperimproveHong-KunXu’Srelevantresults.Keywords:variationalinequality;stronglymonotone;Lipschitziancontinuity;pseudo—contractions;Hilbertspace1引言与预备知识设胃是一实Hilbert空间,其内积与范数分别表示为<·,·>和0·0,CCH非空闭凸,F:c

4、_。H为一非线性算子。变分不等式问题的一般提法为:寻求戈木∈c,使得<,k术,z一茗木>≥OYxEC(1)常用vI(c,F)表示变分不等式问题。变分不等式最初由Stampacchiatl】于1964年引入并研究,近年来,变分不等式已广泛应用于结构分析、经济学、优化问题、运营管理以及工程科学等领域∞。称如下变分不等式问题:寻求菇拳∈C,使得≥0,Yx∈C成立为式(1)的共轭变分问题。一般地,假设y,(C,F)中F是强单调和Lipschitz连续的映像。首先回顾有关算子的几个定义:设F:C叶日,则1)称F是三一Lipschitz连续映像,如果存在常数L≥0,使得0屁一毋0≤L

5、I

6、z—Y0Yx,Y∈C特别地,当L=1时,称,为非扩张映像,当Lt>0Vx,Y∈C3)称F是严格单调的,如果恒成立>OV石,Y∈C且x#y4)称F是J,7一强单调的,如果存在常数’7>O,使得

7、

8、=inf忪一=0,此处的配叫口EC做彳在c上的度量投影,记作Ⅱ=Pc:。众所周知,日到c的度量投影磊为非扩张映像。为简明起见,将用马和与分别表示

9、弱收敛和强收敛,用,表示恒等算子,用‰(甄)表示一族点㈨(0a<1)的弱极限点集合,即∞。(%)={互:存在点列缸。)c㈨,使得tk川(1

10、}叶收稿B期:2009-09—21;修回日期:2009—1I--02基金项目:天津市自然科学基金项目(06YFJMJCl2500)作者简介:何松年(196,一),男,山西太原人,教授,博士,研究方向为计算数学.第28卷第3期何松年,左楠楠:正则化方法求解变分不等式61∞),并且戈。气l我们还要用到如下众所周知的结论。引理1设C是实Hilbert空间日的非空闭凸子集,对于戈∈H,z∈C,z=Pc戈的充要条件是a~:,',一z>≤0,Vy∈C闸。引理2若F:C

11、一日是严格单调的,则y,(C,F)至多有一个解【IJ。引理3若F:C一日是强单调和Lipschitz连续的,则vi(C,F)有唯一解111。引理4设F:CoH为单调映像,并且沿线段弱连续,即当t_+0时,F【(1一th+ty]骂风,V石,,,∈C成立,则髫枣是式(1)之解当且仅当并木为其共轭变分问题之解【lIo引理5设C是实Hilbert空间日中的非空闭凸子集,名卑∈C是变分不等式VI(C,F)的

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1、第28卷第3期2010年6月中国民航大学学报JOURNALOFCIVILAVIATIoNUNⅣERSITYOFCmNAV01.28No.3June2010正则化方法求解变分不等式何松年,左楠楠(中国艮航大学理学院,天津300300)摘要:基于正则化思想,分别对于带有Lipsehitz连续单调映像以及带有Lipschitz连续伪压缩映像的补算子的变分不等式,建立了隐式计算格式,并且证明了计算格式的强收敛性。本文结果改进了Hong—KunXu的相关结果。关键词:变分不等式;强单调;Lipschitz连续;伪压缩映像:Hilbert空间中图分类号:0177.91;0241.7文献标识码:A文章编号:

2、1674—5590(2010)03—0060--05RegularizationMethodforSolvingVariationalInequalitiesHESong-nian,ZUONan-nan(CollegeofScience,翻UC,rianjin300300,China)Abstract:Basedonregularizationideas,twoimplicitschemesareproposedforsolvingvariationalinequalitiesgovernedbyLipsehitzmonotonemappingsandcomplementoperatorsof

3、Lipschitzpseudo-contractivemappingsrespec·tively.Strongconvergencesoftheschemesareproved.ResultsofthispaperimproveHong-KunXu’Srelevantresults.Keywords:variationalinequality;stronglymonotone;Lipschitziancontinuity;pseudo—contractions;Hilbertspace1引言与预备知识设胃是一实Hilbert空间,其内积与范数分别表示为<·,·>和0·0,CCH非空闭凸,F:c

4、_。H为一非线性算子。变分不等式问题的一般提法为:寻求戈木∈c,使得<,k术,z一茗木>≥OYxEC(1)常用vI(c,F)表示变分不等式问题。变分不等式最初由Stampacchiatl】于1964年引入并研究,近年来,变分不等式已广泛应用于结构分析、经济学、优化问题、运营管理以及工程科学等领域∞。称如下变分不等式问题:寻求菇拳∈C,使得≥0,Yx∈C成立为式(1)的共轭变分问题。一般地,假设y,(C,F)中F是强单调和Lipschitz连续的映像。首先回顾有关算子的几个定义:设F:C叶日,则1)称F是三一Lipschitz连续映像,如果存在常数L≥0,使得0屁一毋0≤L

5、I

6、z—Y0Yx,Y∈C特别地,当L=1时,称,为非扩张映像,当Lt>0Vx,Y∈C3)称F是严格单调的,如果恒成立>OV石,Y∈C且x#y4)称F是J,7一强单调的,如果存在常数’7>O,使得

7、

8、=inf忪一=0,此处的配叫口EC做彳在c上的度量投影,记作Ⅱ=Pc:。众所周知,日到c的度量投影磊为非扩张映像。为简明起见,将用马和与分别表示

9、弱收敛和强收敛,用,表示恒等算子,用‰(甄)表示一族点㈨(0a<1)的弱极限点集合,即∞。(%)={互:存在点列缸。)c㈨,使得tk川(1

10、}叶收稿B期:2009-09—21;修回日期:2009—1I--02基金项目:天津市自然科学基金项目(06YFJMJCl2500)作者简介:何松年(196,一),男,山西太原人,教授,博士,研究方向为计算数学.第28卷第3期何松年,左楠楠:正则化方法求解变分不等式61∞),并且戈。气l我们还要用到如下众所周知的结论。引理1设C是实Hilbert空间日的非空闭凸子集,对于戈∈H,z∈C,z=Pc戈的充要条件是a~:,',一z>≤0,Vy∈C闸。引理2若F:C

11、一日是严格单调的,则y,(C,F)至多有一个解【IJ。引理3若F:C一日是强单调和Lipschitz连续的,则vi(C,F)有唯一解111。引理4设F:CoH为单调映像,并且沿线段弱连续,即当t_+0时,F【(1一th+ty]骂风,V石,,,∈C成立,则髫枣是式(1)之解当且仅当并木为其共轭变分问题之解【lIo引理5设C是实Hilbert空间日中的非空闭凸子集,名卑∈C是变分不等式VI(C,F)的

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