正则化参数的确定方法.doc

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1、1.拟最优准则Tikhonov指出当数据误差水平和未知时，可根据下面的拟最优准则：（1-1）来确定正则参数。其基本思想是：让正则参数以及正则解对该参数的变化率同时稳定在尽可能小的水平上。2.广义交叉验证令（2-1）其中，，，为的对角元素。这样可以取满足（2-2）此法源于统计估计理论中选择最佳模型的PRESS准则，但比它更稳健。3.L_曲线法L曲线准则是指以log-log尺度来描述与的曲线对比，进而根据该对比结果来确定正则参数的方法。其名称由来是基于上述尺度作图时将出现一个明显的L曲线。运用L曲线准则的关键是给出L曲线偶角的数学定义,进而应用该准则选取参数。Hanke

2、等[64]建议定义L曲线的偶角为L曲线在log-log尺度下的最大曲率。令，，则该曲率作为参数的函数定义为（3-1）其中“”表示关于的微分。H.W.Engl在文献[40]中指出:在相当多的情况下,L曲线准则可通过极小化泛函来实现。即,选取使得（3-2）这一准则更便于在数值计算上加以实施。但到目前为止,还没有相关文献获得过关于L曲线准则的收敛性结果。另一方面,有文献己举反例指出了L曲线准则的不收敛性。虽然如此,数值计算的结果表明,L曲线准则与GCV一样,具有很强的适应性。4.偏差原理:定理4-1:(Morozov偏差原理)[135]如果是单值函数,则当时存在这样的,使

3、得:（4-1）,式中。事实上，令，由的单调性和半连续性，可知也是单调和半连续的，并且，同时，由的定义以及的半连续性，对于给定的，可以找到这样的，使得：，由的单值性可导出的单值性，从而必定存在满足方程（4-1）。根据上述定理，若方程，（4-2）的准确右端项,而的近似且满足条件：；，则正则化参数存在且唯一。1.误差极小化准则Arcangeli主张由下式来确定正则参数（5-1）注意到对于每个固定的，函数（5-2）对是连续的，单调递增的，且有（5-3）故存在唯一的一个满足方程（5-1）。2.无偏差预测风险估计