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《不适定问题的迭代tikhonov正则化方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、年月计算数学第卷第期,‘,,’‘’不适定问题的迭代正则化方法傅初黎李洪芳熊向团兰州大学数学与统计学院,兰州,摘要正则化方法是研究不适定问题最重要的正则化方法之,一但由于这种方法的饱和效应,,即不能使使得不可能随着解的光滑性假设的提高而提高收敛率正则解与准确解的误差估计达到阶数最优本文所讨论的迭代的正则化方法对此进行了改进,保证了误差估计总可以达到阶数最优数值试验结果表明计算效果良好关键词不适定问题正则化饱和效应迭代正则化主题分类,一,。。。。,。。,,亡云乞老坛从乞二坛云,。汰乞。流一跳,,就就就,就乱一,,,坛孔云乞,勿诉年月日
2、收到一一国家自然科学基金和甘肃省自然科学基金资助课题以及兰州大学理论物理与数学纯基础科学基金资助计算数学年引言考虑不适定问题算子方程‘日、曰、了、,土︸队,,,,这里是无穷维空间到的线性紧算子并具有奇异系统脚,功夕二·,,,一,夕⋯不失一般性我们假设是的并令表示方程对应于任的精确解令。占〔矶。一,占三占引入集合二。二三,,戈洲川、川并定义〔凡,的范数为止乏、‘‘’‘了、司、胜脸一、土买了,二。我们称含有参数的一族有界线性算子是方程的一个正则化方法。,或称为正则化算子如果二,任,即算子逐点收敛于恒等算子口一冲可以选取二“司使得鳃一,
3、。沪一‘砍并称急二沪为方程的相应于此鳃卜曳方法的正则逼近解或简称正则解,。因此研究方程的正则化方法就是研究构造正则化算子的方法以及相应正则化‘,参数司的选取方法使得正则逼近解久收敛于且具有最好的收敛率,,在【中证明了当满足光滑性假设时无论对任何正则化方法方程不可能存在当占时比全一占歼耳豆下不丁,,更高的收敛率并称此时对应的正则化方法是最优的而当正则逼近解满足一厄不菊⋯厄不二石,,之三占时我们称对应正则化方法是阶数最优的期傅初黎等不适定问题的迭代油正则化方法,,但对某些正则化方法式并不是对所有成立而只是对某些三兰,,成立我们把这种现
4、象称为饱和效应而把称为此方法的限定条件一,个正则化方法如果具有饱和效应就意味着不可能随着对解的光滑性一,假设的提高来提高收敛率也即误差估计不可能达到阶数最优。十一,由月定义的正则化方法是研究不适定问题最重要最常用的正则化方法之一用久表示方程对应于满足的沪的正则,,解那么众所周知〕如果成立二,一一号一恕嘟二则这表明这个方法的收敛率不可能超过砖实际上正则化方法的限定条·一,一,厄才件就是从而一号恶无为了改变这种饱和效应和毛在中给出了一种新的推广了的正则化方法’,’’,兀万,之万兀。占二时,,当就是普通的正则化方法文中证明了通过的适当选
5、取可以使误任,任,,。,差估计为阶数最优的解的光滑性假设从提高到。但任,。,当时仍不能保证误差估计的阶数最优成立这不能不说是一个缺憾年在中又给出了一种广义的正则化方法十,抓幻嵘试幻沪。,并给出了使误差估计为最优的参数司的选取方法但却并未解决中遗留问题本,文将讨论一种迭代的正则化方法这种方法可根据需要任意提高限定条件之,任,,值使时误差估计为阶数最优从而使收敛率得到提高。二。,。,,三“,记其中习那么可以证明如下结果成立,七,,,,巧,引理设为无穷维空间升为线性紧算子脚与,,,。,⋯为的奇异值系统」、满足‘对,入三,。久三。有入‘且
6、入入一‘鸟,,。入三对丫存在函数使得办二占、时。,。若还能选取司使得司则算子兔是一个正则化方法且满足。三·。进而若入还能满足条件计算数学年入。,,,一入入三入三三,其中为正常数则对任凡,,还成立如下估计一三了证明先证明式由性质和奇异值系统性质知。。‘,几、兀万兀。,。。、,艺了了,,’一、。。,。、,’一。。。艺了艺了岌了三,三。二,,,再证是一个正则化方法注意到艺易知一。。一。二,,州艺可承由性质有。一。一’,、,一艺萝对二,一〔,,,日任当时显然川以下设尹为固定于是对讹使得一,艺,’考二由性质中入兔一‘知存在使得当。三时成立恕
7、一,,,可动面画万一一期傅初黎等不适定问题的迭代正则化方法,再注意到性质中入兔习三有。。。一‘,。。一‘,‘,’一一二艺可可艺可可书汉,,与,,赫薯艺一护护一一二,任这就证明了升又由结论知一二一,。一。一一沪卜沪圳到了州三。占一,几兀一占几万一二,故若能选取司使乒坦司则由上面的所证结论知咔怒沪一工卜,。从而确为正则化方法最后证明式由条件和知一。一日一,,’、,,烤可一一‘,’一艺可、可句,三时艺汤,‘’”一一,’一,‘〔恙必沪艺动’诱沪了,从而式成立迭代的正则化方法本文考虑由如下公式定义的迭代的正则化方法且,,‘二’二’十默。二,
8、‘戮了,,计算数学年或写成呈,。一,。一’一‘‘十‘一‘’占,二,,逻段了。二二十一,十当。时就是通常的正则化方法记一‘,州沪则由式可得。一‘十哎巧一十一护哎扩器二二,二。一‘一二十且月刀乞一灯之一·一川一‘一‘一‘。‘艺艺州二记灯一一一一‘’十一
