一种选取线性不适定问题正则化参数的迭代算法

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1、第28卷第4期江西科学Vo1．28No．420l0年8月JIANGXISCIENCEAug．2010文章编号：1001—3679(2010)04—0425—05一种选取线性不适定问题正则化参数的迭代算法徐会林(东南大学数学系，江苏南京210096)摘要：考虑利用Tikhonov正则化方法求解线性不适定问题。基于吸收Morozov相容性原理，提出了一种新的选取正则化参数的迭代算法。该算法简单易实现且具确全局收敛性。给出了算法的收敛性分析，并通过数值算例说明了其数值有效性。关键词：不适定fq~_；Tikhonov正则化方法；正则化参数；迭代算法；收

2、敛性中图分类号：0242文献标识码：AAnIterativeAlgorithmforChoosingtheRegularizationParameterinLinearm-posedProblemXUHui—lin(DepartmentofMathematics，SoutheastUniversity，JiangsuNing210096PRC)Abstract：Consideringsolvingthelinearill—posedproblembyTikhonovregularization，weproposeanewiterativealg

3、orithmforchoosingtheregularizationparameterbasedonthedampedMorozovdis—crepancyprinciple．Thisalgorithmiseasytoimplementandhasglobalconvergence．Wegiveitscon—vergenceanalysis，andshowthenumericalvaliditybynumericalexamples．Keywords：Ⅲ一posedproblem，Tikhonovregularization，Regulariz

4、ationparameter，Iterativealgo—rithm，Convergence稳定解，不适定问题的求解需要引人正则化方O前言法。最近几十年，不适定问题的研究得到了迅速求解线性不适定问题的正则化方法中，应用的发展，这在很大程度上是由其它学科与众多工最广泛也最经典的是Tikhonov正则化方法。在程技术领域的应用中所产生的迫切需求驱动的。该正则化方法中，正则化参数的选取起着关键的随着科学技术的发展，不适定问题的研究内容变作用，其选取的好坏直接影响到正则化解的效果。得非常广泛，涉及到地质勘探、图像处理、天气预因此，正则化参数的选取一直是

5、正则化方法研究报、医学成像、遥感技术等众多领域。求解不适定的重点。正则化参数的选取策略有先验和后验2问题的本质困难在于解的不稳定性，即当由观测种。先验选取是指在计算正则化解之前先取定正数据计算未知解时，观测数据的微小误差将会引则化参数。先验选取通常依赖于精确解的某种先起未知解的急剧变化。因此，为了获得数值上的验信息，这在实际计算中很难预先给出。相对于收稿日期：2010—06—28；修订日期：2010—07—21作者简介：徐会林(1984一)，男，山东烟台人，博士研究生，主要从事数学物理反问题研究。·426·2ID10年第28卷先验选取，基于误差

6、数据及其误差水平信息的后II一Yll+aIIl}：6(5)验选取更为实用。关于正则化参数的后验选取，来选取正则化参数(，其中y∈[1，+∞]是给已有很多成熟的方法，如Morozov相容性原定的参数，该方法称为吸收Morozov相容性原理J、广义交叉检验准则、L．曲线准则、Ar-理。特别的，当=+∞时，吸收Morozov相容eangeli准则等。其中Morozov相容性原理是一性原理即为Morozov相容性原理。种应用非常广泛的后验选取策略，它是通过求解记G(a)：=llKx一YlI+aJIlI一非线性的Morozov偏差方程来得到正则化参数。，

7、吸收Morozov相容性原理给出了正则化参数因此，如何有效求解该偏差方程成为正则化参数的一种允许的取法。当K()在l，中稠密时，相选取的关键，已有的求解算法有Newton法、拟应的Morozov偏差方程Newton法、模型函数方法等J。前2种方法只G()=0(6)具有局部收敛性，且对迭代初值的要求很高。所存在唯一解a，参见文献[1]。方程(6)实际上谓模型函数方法是通过引入Tikhonov泛函的极是一个关于正则化参数的非线性方程，因此，小值函数F(O／)(见以下的(8)式)的含双参数的如何有效求解该非线性方程成为正则化参数选取模型函数后得到Mo

8、rozov偏差方程的一个近似方的关键。程，进而求解该近似方程得到有效选取正则化参由文献[8]可知函数G()满足数的迭代算法。受此启发，本文将提出一种选