南开大学金融数学随机过程讲义

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1、随机过程讲义(内部交流)目录目录1Poisson过程1舱舮舱定义舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舱舮舲另一个等价定义舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舱舮舳艐良艩艳艳良艮过程的其它性质舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舵舱舮舳舮舱顺序统计量舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舵舱舮舳舮舲过程的稀疏舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舶舱舮舴复合艐良艩艳艳良艮过程及应用舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舷舱舮舴舮舱复合艐良艩艳艳良艮过程舮舮舮舮

2、舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舷舱舮舴舮舲复合艐良艩艳艳良艮过程在保险风险理论中的应用舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舸舱舮舵艐良艩艳艳良艮过程的其它扩展舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舰舱舮舵舮舱非齐次艐良艩艳艳良艮过程舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舰舱舮舵舮舲条件艐良艩艳艳良艮过程舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舰舱舮舵舮舳艐良艩艳艳良艮随机测度舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舱2离散时间马氏链12舲舮舱定义与例舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舲舲舮舲状态分类舮

3、舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舴舲舮舲舮舱状态空间的分解舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舴舲舮舲舮舲状态的常返舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舱舵舲舮舲舮舳状态的周期性舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舰舲舮舳不变测度和平稳分布舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舰舲舮舴极限定理舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舳舲舮舴舮舱极限分布舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舳舲舮舴舮舲比率定理舮舮舮舮舮舮舮

4、舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舶舲舮舵一些例子舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舲舷3连续时间马氏链33舳舮舱定义舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舳舳舮舱舮舱马氏性与等价条件舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舳舳舮舱舮舲转移概率舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舵舳舮舲标准转移矩阵的分析性质舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳舶舳舮舳Q矩阵及其概率意义舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舳船舳舮舴向前与向后微分方程组舮

5、舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舴舳舳舮舵一类马氏链的构造舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舴舶舳舮舶强马氏性舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舮舴舸舭艩舭第一章艐良艩艳艳良艮过程第一章Poisson过程k称随机变量X服从参数为的艐良艩艳艳良艮分布，若P(X=k)=e般k=0;1;:::舮k!称随机变量X服从参数为的指数分布，若P(X>t)=et舮此时，X的密度函数为et般t>0般分布函数为1et般t>0舮指数分布满足无记忆性，即P(X>t+s)=P(X>t)P(X>s):引理1.1设随机变量

6、X,Y独立，f:RR!R有界可测。令g(x)=E[f(x;Y)].则g(X)可积，且E[f(X;Y)]=E[g(X)]:称fN(t);t0g为计数过程，若N(t)表示在时刻t之前发生事件的次数。因此，计数过程N(t)满足：舨艩舩N(t)0舻舨艩艩舩N(t)为整数值；舨艩艩艩舩对0st般N(s)N(t)舻舨艩艶舩对0s

7、>0,有N(t1)N(t0),:::,N(tn)N(tn1)独立，且N(t+h)N(t)与N(h)同分布；(iii)当h#0时，P(N(h)=1)=h+o(h);P(N(h)2)=o(h):舨舱舮舱舩定理1.2设N(t)是参数为的Poisson过程，则对任意的h>0,(t)ktP(N(t+h)N(t)=k)=e;k=0;1;::::舨舱舮舲舩k!舭舱舭第一章艐良艩艳艳良艮过程