随机过程讲义1

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1、第十二章随机过程基本概念关键词：随机过程状态和状态空间样本函数有限维分布函数均值函数方差函数自相关函数自协方差函数互相关函数互协方差函数独立不相关确定性过程具有确定形式的变化过程，或者说具有必然的变化规律，用数学语言来说，就是事物的变化过程可以用一个时间t的确定函数来描述。例如，电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性函数。2随机过程没有确定的变化形式，也即，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。用数学语言来说，这类事物的变化过程不能用一个时间t的确定性函数来描述：如果对该事物的变化全过

2、程进行一次观察，可得到一个时间t的函数，但若对该事物的变化过程重复地独立地进行多次观察，则每次所得到的结果是不相同的。3§1随机过程的概念定义：设Tt是一参数集，对任意∈T,X(t)是一个随机变量,则称{}XttT(),∈是随机过程.Xte(,)(1)Xt(,•)是随机变量(2)(,e)X•是t的函数,称为样本函数Xt(,e)所有可能取值的全体称为状态空间对随机过程的一次具体观察结果就是一条样本函数随机过程的分类：按照参数集T可分为离散时间和连续时间两种情况，状态空间为离散状态和连续状态两种。1.离散时间离散状态2

3、.离散时间连续状态3.连续时间离散状态4.连续时间连续状态5例：（1二项过程）某人在打靶，每次的命中率为p,并且各次的结果相互独立。用S表示前次命中的次数n。n则{;1,2,}Snn=L是一个离散时间离散状态的随机过程。状态空间I={0,1,2,}.L所有样本函数为：（{sss123,,...,)01：s1=或s1===，sii++1ss或ii1s+1}sn65432112345678n例2：考虑抛掷一颗骰子的试验：(1)设Xn是第次(1n≥)抛掷的点数，n{}Xnn,≥1的状态空间为1,2,3,4,5,6。{}(

4、2)设是前次出现的最大点数,Ynnn{Y,1n≥}的状态空间仍是{123451,2,3,4,5,6}。xnyn6(1)6(2)y5x5nn4433221112345678n12345678n7例3：(随机相位正弦波)()Xt=αωcost(+Θ),t∈−∞+∞(,),和是正常数,αωΘ~(U0,2)π。{();Xtt∈−∞+∞(,})是连续时间连续状态的随机过程。状态空间是[-αα,],在(02)(0,2)πθ内任取一数θ,相应的就得到一个样本函数xt()=+αωθcost(),这族样本函数的差异在于它们相位的不同

5、.θ例4：设XtVcostt()=∈=∈ωω(−∞∞+∞,,+∞)是正常数，VU~[0,1]。则{Xt()}是连续时间连续状态随机过程。状态空间是[-1,1].所有样本函数是:{[x()t=vcostvω:∈0,1]}1]}例5：以Nt()表示(0,t]内到某保险公司理赔的人数。则{}N(),tt≥0是连续时间离散状态的随机过程,状态空间是{0,,,,1,2,L}.假设不会有两人或两人以上同时理赔,设第人理赔的时间为，iti则0<<<

6、过程的统计描述⎧分布函数两种描述⎨⎩数字特征11随机过程的分布函数族设随机过程{XttT(),,∈∈}对每一固定的tT,随机变量的X()tt分布函数与有关，记为FxtPXtxxR(,)=≤∈{}()，，X称为{XttT(),∈}的一维分布函数{FtFX()(x,ttT),tT∈}称为一维分布函数族对任意nn(2=,3,)LL个不同的时刻，tt,,tT∈12nnX维随机变量((),(),t12XtLX(),tn)它的分布函数记为：Fxxxttt(,,LL；,,)Xnn1212=≤≤PXt{()()1122≤≤x,Xt

7、Xt()()x,LXtXt()()nn≤x}，xRi∈=,1,2,Lni称为{XttT(),∈}的n维分布函数{FxxxtXn(;)(12,,LL;12,,tttTn)i∈}称为n维分布函数族{FxxxtttnXn(,,12LL;,,12n),1,2,=∈LtTi}称为随机过程{XTX()tt,∈T}的有限维分布函数族它完全确定了随机过程的统计特性随机过程的数字特征给定随机过程{XttT(),∈},记μ()tE=[()]Xt−−−−−均值函数X22ψ()tE=[Xt()]−−−−−均方值函数X22σμX()tDtE

8、Xt==XX(){[()−()]t}-----方差函数2σσ()tt=()-----标准差函数XX又设任意ttT,∈12RttEXtXt(,)=[()()]−−−−−()自相关函数X1212Ctt(,)=CovXtXt[(),()]X1212=EXt{[()1122−−μμXX()][()tXt()t]}−−−−−(自协方差函数)各数字特征之间的关系如下：2