CFD数学模型的线性化方法及其应用

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1、航空学报ActaAeronauticaetAstrOnauticaSinicaOct．252015V01．36No．103218．3227ISSN1000-6893ON11-1929／Vhttp：／／hkxb．buaa．edu．cahkxb@buaa．edu．CRCFD数学模型的线性化方法及其应用屈昆*，李记超，蔡晋生西北工业大学翼型叶栅空气动力学国家重点实验室，西安710072摘要：计算流体力学(CFD)方法不仅仅起到数值模拟的作用，它本身是一个复杂的非线性系统。在流动稳定性分析、气动弹性分析、优化设计以及流动控制等领域，从系统的角度出发，对CFD数学模型线性化后。

2、可以对模型的系统矩阵进行定量分析获得更多的系统特性。但是CFD数学模型往往非常复杂且阶数很高，因此其线性化系统矩阵的获得比较困难。鉴于此，采用人工编程和自动微分相结合，构造有限体积法并行CFD模型的线性化系统矩阵。其中自动微分只被用来得到每个界面通量的局部雅可比矩阵，而采用人工编程方法来实现并行环境下的稀疏雅可比矩阵的组装。线性化系统的并行求懈采用了块雅可比预处理的广义最小残量法，每个并行进程内部则采用零填充不完全I。u分解预处理。为了验证这种线性化方法．上述方法被用于：①NACA0012翼型的非定常绕流线性系统构造与求解；②NACA0012翼型稳态流动的伴随方程构造

3、与求解；③AGARDwing445．6机翼颤振问题降阶建模。上述三个算例的结果与CFD模拟的吻合一致。关键词：计算流体力学；线性化模型；伴随方程；自动微分；降阶模型中图分类号：V211．3文献标识码：A文章编号：1000—6893(2015)10—3218-10随着计算流体力学(CFD)理论和计算机技术的发展，在科学与工程中，CFD已经成为与理论分析和实验研究并列的一种重要工具。在很多场合下，CFD计算作为一种模拟工具能够代替实验来获取流动数据。但是CFD并不仅仅是一种模拟工具，其本身就是一种数学模型，对于动态问题，CFD数学模型是一个复杂非线性动态系统；对于稳态问题

4、，CFD数学模型是一个静态系统，可以看做动态系统的特例。因此从系统的角度出发，可以计算出CFD数学模型的很多性质。例如在气动弹性的颤振分析中，是否发生颤振可以通过计算线性化气动弹性系统的特征值来做到，而不一定要采用非定常CFD模拟。在优化设计领域，梯度优化方法需要获取目标函数对设计变量的梯度。该梯度的计算可以采用差分法，但是差分法需要计算的流场次数与设计变量个数成正比，因此在设计变量较多时计算量很大。在这种情况下，伴随方法¨。33是更好的选择，因为伴随方法只需要求解一个阶数与CFD数学模型相同的线性方程组(即CFD模型的伴随方程)，就能计算出一个目标函数对所有设计变量

5、的梯度。对上述这两种问题来说，无论是计算CFD数学模型的特征值还是伴随方程求解，都需要获取数学模型的系统矩阵。除了稳定性分析与优化设计之外，不确定性分析、流动控制和降阶模型等领域都涉及到对CFD数学模型的系统矩阵的操作与计算。该系统矩阵即流场残差向量R对流场变量w的雅可比矩阵J—aR／aw，在多学科耦合问题中系收稿日期：2014—11—17；退修日期：2014—12—19；录用日期：2015-01-30；网络出版时间：2015—03—2310：05网络出版地址：WWWcnkinet／kcms／detail／11．1929．V201503231005．003．html基

6、金项目：国家“973”计划(6132400101)*通讯作者Tel．：029—88495381E—mail：kunqu@nwpueducn翱堆撂武sQuK．LiJc．CaiJs．Methodoflinearizingcomputationalfluiddynamicsmodelanditsappl『cations[J]．ActaAeronauticaetAs—tronauticaSinica．2015．36(10)：3218．3227．屠毫．李记超．蔡晋生iCFD数学模型的线性化方法及其应用￡∞?航空学报．2D15，36(10)：3218—322Z屈岜等：CFD数学模

7、型的线性化方法及其应用统矩阵也是在J的基础上扩展得到的。因此对于CFD模型线性化及其系统矩阵的构造，关键在于构造CFD模型的雅可比矩阵。由于CFD数学模型是一个非常复杂的非线性系统，而且往往阶数也非常大，因此难以直接写出雅可比矩阵的解析表达，只能将其表达为计算机代码形式。计算复杂函数的导数目前有四种方法，差分法、复数差分法、解析法和自动微分法。差分法最为简单，即采用差分计算导数。但是受到计算机有限精度的影响，差分计算导数的误差并非随着差分步长的减小而单调减小，而是存在一个最优值。这个最优差分步长往往难以确定[4]。复数差分法[5蜘是将被求导函数转化为