浅谈数学模型方法的应用

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1、浅谈数学模型方法的应用江苏省常州市武进区三河口高级中学章建春过去的数学教育重视基本运算，基本训练，注意培养逻辑思维能力，中国学生的数学成绩一直名列前茅，在国际奥林匹克竞赛和中美数学通讯竞赛中，都鲜有对手。但是受到考试制度的制约，数学教育成了“考题教育”，教师把无穷的精力浪费在一些牛角尖试题上。只是时代在进步，形势有很大变化，随着屮国加入WTO,未来公民的素质，自然应该包括国际金融意识，市场竞争意识等在社会上生存和立足的本领。因此我认为数学教学不仅要使学生“知其然，知其所以然”,还要使学生“知其何以用矣”。在近几年，教育部门十分重视学生运用

2、数学知识解决实际问题的能力，因此在近期的高考试卷上，也都加入了一定量的应用题。例1：某观测站C位于A城的南偏西20。，由A城出发有一条公路走向是南偏东40。。B城在这条公路上。现有一人从B城出发，沿这条公路向A城走去。走了20千米后到达D处。市C处测得C、B间距离为31千米，C、D间距离为21千米。问此人还要走多远到达A城？例2：据市场调查，2001年某食品厂产品的销售量y（公斤）是吋间X（天）的二次函数，吋间从这年的第一天开始，1SXS365,第180天销售量最高，销售量为2500公斤，且第260天的销售量为2100公斤。（1）写出函数

3、y二f（x）的函数表达式。（2）如果产品日销量在900公斤或900公斤以上，那么这一天就盈利，请问这一年屮那些天盈利？应用性问题对学生的要求较高，也是学生失分最多的。解决它就要求学生能够从实际问题中提炼出数学模型，即掌握浅显的数学模型方法。第一点，利用数学模型方法解答实际问题时,般要做好三方的工作：（1）是根据实际问题的特点，构造恰当的数学模型;（2）是在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求出所需的解答；（3）是联系实际问题，对所得到的答案进行深入讨论，作出评价和解释，返回到原来的实际问题中去，形成最终的判断。现看例1:第一步，

4、先构造出三角模型。A、.20^40第二步，在三角形内运用正弦、余弦定理求值。解：在ZXBCD屮CD=21,BD=20,CB=31由余弦定理得cosBBC?+BD?-CD?2BC•BD312+20—212~~2-31-20233l因为CDvCB.所以角B为锐角。sinB12V3314AABC中，由正弦定理得,AC_BC—,sinBsinAsinC=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBV323112V335V3=1=23123162所以AD二AB-BD二35-20二15(千米)第三步，根据实际正

5、确取解。由答案15千米可知实际还要走15千米可达到A城。再如例2,由题II条件构造出一元二次函数的顶点式方程y=a(x-p)2^q9代入已知条件即可解决。以上三方面是互相联系，缺一不可的，其中以构造数学模型最为关键。从总体上说，构造数学模型的基本手段是数学抽象方法。构造的基本过程，分以下几个步骤:①分析问题所及的量的关系，弄清哪些是常量，哪些是变量，哪些是已知量，哪些是未知量，了解其对象和关系结构的本质。②从实际问题的关系和具体要求出发，根据有关科学理论，抓住主要矛盾，考察主要量的关系。③对事物及事物间的关系进行抽象，利用有关的数学概念、

6、数学符号和数学表达式去刻画事物及关系。第二点，构造数学模型时，既要考虑到精确性，又要注意到简单性，使模型越简单越好。特别是选取恰当的变量，建立便于求解的模型。例如：把一根直径为d二400mm的圆木，加工成矩形截面的柱子，问怎样锯法可使废弃的木料最少？思考方法:要使废弃的木料最少，就是要使柱了的截面积最大。考察圆木的横截面。设圆的直径为d,圆内接矩形的面积为S,一边AB的长为x,则另一边长为y/d2-x2。所以S=x^d2-x2,由此得模型I：x为何值时，函数S=x^d2-x2有最大值。如果设AC与AB的夹角为oc,则AB=dcosa,BC

7、=sina.从而，S=(dcosa)(dsina)=—sin2a,由此便得2模型II：a为何值时，函数S=—sin2a有最大值。2如果设矩形的长为X,宽为y,则X2+=6?2(x>0,y>0),_HS=xy,由此又得模型IIL在约束条件x2^y2=d2(x>09y>0)下，求目标函数S二xy的最大值。总之，用数学模型方法解决应用题时，需要多方面的能力，如理解实际问题的能力，数学抽象能力，运用数学工具的能力，通过实践加以验证的能力，等等。为此，在平时的学习和研究中，应当多接触一些实际问题，多解答一些应用问题，多了解一些和关知识。