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1、研究与探讨·555·关于微分求积法的一点注记任永亮（江苏铭城建筑设计院有限公司，江苏盐城224005）摘要：DQ法在工程上得到广泛的应用，然而对DQ法全面注记的却不多。本文以一维为例，对DQ法的原理进行推导，先从一阶导数入手，而后推广到多阶导数的情况，实现了对DQ法的全面注记，阐明了DQ法的依据，并对其边界条件进行了相应的处理。关键词：DQ法；微分求积法；微分方程；数值解中图分类号：TU311.4文献标志码：A文章编号：1674-3024（2012）12-0555-03φ(x),j=,2,1,0L,N前言式中，j，为N+1维向量空间的一个基η,j=,2,
2、1,0L,N科学和工程问题的物理本质一般可以用具有初、边值函数j为这个基下的坐标。条件的常、偏微分方程（组）加以描述。从实际物理问题为了简单起见，将基函数取为k中提炼出来的数理方程通常比较复杂，只有极少数特殊类φk(x)=x,k=,2,1,0L,N（4）型的微分方程（组）能够运用理论手段推导出解析解答。则函数g(x)可以用N阶多项式表示为Nk比较现实的求解思路是将这些难于求解的微分方程（组）g(x)=∑ηkx（5）k=0和边界条件离散成一系列代数方程，把连续函数的数学解经过点（xi,fi），i=,2,1,0L,N且具有式（5）形式的x,j=,2,1,0L
3、,N析转变为规格化的离散数值运算。虽然这种数值求解方法函数是唯一的，利用采样点j处的函数值f,j=,2,1,0L,Nη,j=,2,1,0L,N要求进行大量的、规格化的数值计算，它却是一种行之有j即可求出基下坐标值j。对式效的数学手段，已经成为目前研究的主流。同解析方法相（5）两边求导，并计算各采样点处的函数值，如果用g(x)比，数值方法需要解决收敛性、精度和稳定性等问题。在近似地代替f(x)，就可以得到形如式（2）离散表达的(m)保证一定的数值精度和数值稳定性的条件下，不断提高计fi(x),i=,2,1,0L,N，此即微分求积法的基本公式。算效率成为数值
4、方法追求的目标，这对实际物理问题的解将解函数f(x)的各阶导数统一表示为计算域内全部决具有非常重要的意义。采样点函数值的加权和，并把它们带入微分方程，只要(m)1求解微分方程（组）的数值方法有多种权系数aik是已知的，即可方便地求得离散表达的待求(m)如加权残值法、有限差分法、有限单元法、边界单函数f(x)。因而权系数aik的确定就成为微分求积法实施元法等。微分求积法（DifferentialQuadratureMethod，的关键。简称DQM）被认为是一种需求的离散点少而数值精度又3权系数的确定较高的数值方法，它的基本思想是把解函数在给定离散既然微分求
5、积法被解释为用插值函数g(x)近似地表示点上的导数值用计算域内全部离散点处函数值的加权和待求函数f(x)，则f(x)导数运算就转变为对g(x)求导问题了。近似地表示。微分求积法思想提出后，这一数值技术得插值函数g(x)的构造方法有多种，可以采用多项式插值、到了迅速发展，相继提出了微分求积单元法、广义微分三角函数插值、样条插值等。下面以Lagrange插值为例求积法、多维微分求积法（DifferentialCubatureMethod，推导权系数的表达式。简称DCM）等，显示出这一数值技术强大的生命力和广Lagrange插值多项式可以表示为N阔的应用前景。
6、f(x)=∑li(x)fi（6）i=0l(x)在微分求积法实施过程中，权系数的确定和边界条件式中，i为插值基函数，表示为w(x)l(x)=i=,2,1,0L,N的处理是非常关键的。本文以多项式插值为基础，说明了i)1((x−x)w(x)（7）ii)1(微分求积法的依据，并推导了权系数的计算公式，给出了其中w(x)w(x)及其一阶导数为N边界条件处理的方法，目的是为微分求积法进行注记，解w(x)=∏(x−xj)（8）j=0N)1(释利用微分求积法求解微分方程的合理性。w(xi)=∏(xi−xj)j=0（9）j≠i2微分求积法的基本思想对式（6）求m阶导数，
7、并计算采样点x=xi处的导数函以一维问题为例说明微分求积法的实施过程。若一维函数值，得到N(m)(m)数f(x)在区间[-1，1]上连续可微，将f(x)离散为fi=∑ljifji=,2,1,0L,N（10）j=0(m)(m)l=l(x)l(x)fi=f(xi)i=0,2,1L,N（1）式中，jiji为基函数j的m阶导数在点xi处的取值。则它的导数近似地表示为比较式（2）和式（10），显然有N(m)(m)f=∑afi=,2,1,0L,Na(m)=l(m)i,j=,1,0L,N;m=,2,1L,N（11）iikk（2）ijjik=0(m)(m)(m)(m)(
8、m)(m)式中，N为采样点总数，f=f(x)和f=f(x)分别为记A=[aij]
