阶的估计及其应用

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1、万方数据第10卷第14期2010年5月1671—1815(2010)14—3427-04科学技术与工程ScienceTechnologyandE嚼neefingVoLlONo．14May2010@2010Sci．TeekEngn§阶的估计及其应用张博(陕西交通职业技术学院基础部，西安710018)摘要利用初等方法和解析方法，进一步研究了无穷小量与无穷大量的阶的性质，讨论了阶的估计在分析及数论中的应用，获得了几个简单的均值渐进公式。关键词无穷小量无穷大量阶的估计均值巾图法分类号Oi56．4；文献标志码

2、A众所周知自变量几在正整数集或其子集中取值·的函数Y=以n)称为数论函数或算术函数，它的各种性质的研究在数论中占有举足轻重的地位。很多重要算术函数的单个取值非常不规则，给出它们的显式表达几乎不可能，尽管如此，其均值∑火n)往忑：往有非常规则的渐近公式。因而，数论函数的均值估计问题在数论研究中占有十分重要的位置，尤其是解析数论的重要研究课题之一，也是研究各种数论问题不可或缺的工具，许多著名的数论难题都与之密切相关，因而在这一领域取得任何实质性进展都必将对数论的发展起到重要的推动作用，而均值估计(亦称值

3、的分布、渐近公式等)就是利用数沦的知识挖掘其主项，并尽可能好地估计其余项亦即误差项。本文从阶的概念人手，对分析及数论中一些均值及收敛问题用阶的估计展开讨论，从新的角度进行研究的一个尝试，并给出两个定理。1阶的估计概念及性质1．1阶的定义定义1设f(省)，g(名)，(g(鼻)≠0)当耳^+‰时㈨12010年2月20日收到国家自然科学基金项目(10671155)、陕西省自然科学基金项目(SJ08A2．8)资助作者简介：张博(1963一)，男．陕西西安人。陕西交通职业技术学院副教授，研究方向：基础数学。1

4、)如果lim袅劣=o，则称^名)对于g(菇)在(名-+粕)的无穷小，记为八石)：o(g(石))(髫-+xo)。厂(x)与g(x)同为无穷小量，则称“鼻)为g(茗)在(石州。)的的高阶无穷小量。八石)与g(x)同为无穷大量，则称八并)为g(石)在(茗—粕)的的低阶无穷大量。2)如果lim袅碧=∞，则称以菇)对于g(z)在(算_‰)无穷大量；3)如果lira璺妥：c(c≠o)，则称八膏)对于gL菇，g(茗)在(茗--+xo)同阶；4)如果lim袅骛=1，则称以菇)与g(戈)在(名．+X0)等价，记作八石

5、)一g(菇)(石_+X0)。等价必然是同阶，但同阶不一定等价。数学分析中在讨论无穷小量的比较时引入了E．1andau符号，大都有这样的规定，当(石川o)时，灭膏)与g(x)同为无穷小量。1)如果lim袅茜=o，则称以茗)为g(菇)在(菇---．-X。)的高阶无穷小量。2)如果lim袅鸶=1'则称八砧与g。)在(茗一‰)是等价无穷小量。特别地是J(x)=o(1)(名—哺。)，表示lim灭名)=0。万方数据3428科学技术与工程lO卷定义2设g(x)>0，若存在常数A>0，使得掀省)I≤Ag(x)成立，

6、则称g(茗)是以戈)的强函数。记为人髫)=0(g(x))(茗E(口．6))亦即以茗)<-2，存在正整数M，使得膨≤菇<(M+I)‘，

7、我们可以推断，令M=【省言】，并注意到菇T—M=0(1)，定义1，定义2都有更加广泛的意义，阶的符号0，0，一都是相对于一定的极限过程而言的，使用时通常要附以记号(菇叫。)以及说明涉及的极限过程。2阶的性质关于阶还有如下性质(准则)：1)若f(髫)是无穷大量，(髫川。)，而9(菇)=0(1)，贝0妒(膏)=0(厂(茗))(菇—专‰)；2)若以菇)=0(妒(x))，妒(茗)=0(驴(菇))，贝Ⅱ以茗)=D(1沙(名))(茗—÷‰)；3)若八髫)=0(cp(戈))，9(茗)=0(吵(髫))，则以菇)=0

8、(·步(髫))(菇州o)；4)D(力+0(g)=0盯+g)；5)D(力·0(g)=0U·g)；6)o(1)·0∽=o(力；7)D(1)·off)=o(力；8)D(力+0(g)=D(力；9)o(力+o(g)=0(1fI+IgI)；10)o(力·oCg)=o(f·g)；11){D∽r=0‘(广)，k是自然数；12){o(力)I=D(广)；13)f-g，g—h，彰～h；14)若I步(算)一妒(石)，=寺liml

9、b(x)·以髫)=limp(茗)·以x)。仅举几条证明如下：法