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1、2004年9月JournalofYunnanNormalUniversitySep.2004X实数阶微积分及其应用陈建威(蒙自师范高等专科学校,云南蒙自661100)摘要:文章从实数阶导数的定义出发,从逆运算的角度给出了实数阶积分的新定义,并建立了实数阶微积分与正整数阶微积分的一些关系式,使之更加系统和完善。关键词:实数阶微积分;幂级数;#函数;B函数中图分类号:O211.6文献标识码:A文章编号:1007-9793(2004)05-0010-04分数阶微积分,实数阶微积分这两个概念即使对于数学系的师生也是知之甚少,普遍感到陌生,而且有点神秘。因为,有关微积
2、分内容的教材,讲的都是正整数阶导数,正整数重积分。1ö2阶导数似乎不好理解。其实,早在1695年就有一个叫做L.Hospital的人,问微积分的发现者之一莱布尼兹(Leibnitz),什么是1ö2阶的导数?以后就有人研究分数阶的微积分,但由于不知道它的应用,所以,这种研究基本上处于停滞状态。自从特殊函数贝塞尔函数,以及用贝塞尔函数来研究一些微分方程的求解出现以后,实数阶微积分的研究才有一些进展,但仍然显得比较零星。现代数学中的“分形几何”中的豪斯道夫(Hausdorff)维数,就不是正整数,例如康托(Canter)集F的豪斯道夫维数dimHF=lg2ölg3
3、,是一个无理数。作者猜想,实数阶微积分在微分方程的求解中的应用的研究还可以深入发展,在“分形几何”中可能会找到新的应用。为此,本文根据有关资料,从逆运算的角度给出了实数阶积分的新定义(类似于不定积分),并整理和建立实数阶微积分与正整数的微积分的一些混算公式,使实数微积分与正整数的微积分和谐,统一。本文的应用举例,对资料上的内容也作了些修改及完善。使实数阶微积分的理论进一步系统化,便于应用。其目的,一是让高校数学系的师生能够了解“实数阶微积分”的思想和内容,也许可以作为微积分教材的补充阅读资料;二是能够去找到它的新的应用。1实数阶微积分的定义及运算公式a考虑幂
4、函数y=x(a为实数)的m阶导数,m为正整数。mdym=a(a-1)(a-2)⋯(a-m+1)dxm+∞dya-m-xA-1记Qm(a)=a(a-1)⋯(a-m+1),m=Qm(a)x自然会想到#函数#(A)=∫exA∈dx0(0,+∞)及其递推公式:#(A+1)=A#(A)。ma#(A+n)d(x)#(A+n)=(A+n-1)(A+n-2)⋯A#(A)=Qn(A)#(A)∴Qn(A)=,m=#(A)dx#(a+1)a-mx#(a+1-m)1ad2(x)#(a+1)a-11自然就会想到:1=x2,再从推广到任意实数A>0dx2#(a+1-1)22X收稿日期:
5、2004-04-19作者简介:陈建威(1943-),男,云南省建水县人,教授,主要从事常微分方程和拓朴动力系统的研究.第24卷第5期云南师范大学学报Vol.24No.5第5期陈建威:实数阶微积分及其应用·11·Aa[1]d(x)#(a+1)a-Aa定义1A=x,A∈(0,+∞),称为幂函数y=x的正实数A阶导数。dx#(a+1-A)建立幂函数的实数阶导数与正整数阶导数的混合运算公式。AaAaddxddx(1)A=AdxdxdxdxAaAddxda-1#(a)a-1-A#(a+1)a-1-A证:A=A(ax=ax=xdxdxdx#(a-2)#(a-A)Aadd
6、xd#(a+1)a-A(A-a)#(a+1)a-1-A#(a+1)a-1-AA=x=x=x∴等式成立。dxdxdx#(a+1-A)(a-A)#(a-A)#(a-A)一般地就有AmamAaddxddx(2)Am=mAdxdxdxdx0对任意的实数A>0,A=[A]+(A),[A]为A的整数部分,(A)为A的小数部分。由性质问就有Aa[A](A)adxddx(3)PA∈(0,+∞),A=[A](A)dxdxdxABaBAaA+Bad0d0xd0d0xd00x(4)AB=BA=(A+B),07、(a+1)a-B#(a+1)#(a-B0+1)a-B-A证:=x0=x00ABAdx0dx0dx0#(a+1-B0)#(a+1-B0)#(a+1-B0-A0)A+B#(a+1)a-A-Bd00a=x00=A+B(x)#(a+1-A0-B0)dx00BAaBd0d0xd0#(a+1)a-A#(a+1)#(a-A0+1)a-B-A=x0=x00BABdx0dx0dx0#(a+1-A0)#(a+1-A0)#(a-A0+1-B0)#(a+1)a-A-B=x00∴等式成立。#(a+1-A0-B0)∞n∴幂级数∑anx在其收敛区间(-r,r)内可以逐项微分,且收敛半径r
8、不变,就得到定理1.n=0A∞∞df(x)#(n+1
