高等数学方法简介第一、二讲

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1、科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙,是由必然王国通向自由王国的桥梁。数学方法是数学的灵魂高等数学方法主讲教师:张晓宁前言一.为什么要学“高等数学方法(参考前言第一段)1.科学方法的重要性科学是什么,为什么技术做什么,怎么做科学方法桥梁与钥匙数学思维的体操科学的语言生活的需要(思路)(表达)(应用)数学方法对数学规律的认识思维方法解题方法(是数学的灵魂)2.数学方法的含义二.“高等数学方法”的结构与学习方法(参考前言第二、三段)第一部分(第一至第七章)每节包含:方法指导,实例分析,相关问题第二部分(第八至第十一章)包括综述和提高(从古典数学向近

2、代数学靠拢)学习方法:1.将数学内容和数学方法相结合2.重视分析问题和解决问题的方法3.学习要纵横结合,着眼于提高数学素养华罗庚（1910-1985）“聪明在于勤奋,天才在于积累”“学而优则用,学而优则创”“由薄到厚,由厚到薄”注意问题：认真听课，扼要记录，多做题目，总结规律。参考书张晓宁、李安昌：高等数学方法中国矿业大学出版社教学安排参考第一、二讲高等数学中的方法综述第三讲研究函数与极限的基本方法第四讲导数的计算方法及微分中值定理应用第五讲导数应用的方法第六讲积分学的概念、性质和不定积分的计算法第七讲定积分的计算、证明和解应用问题的方法第

3、八讲几类常微分方程的求解法第九讲空间解析几何方法及其应用第十讲研究多元函数微分学概念的方法第十一讲多元函数微分法及其应用第十二讲二重及三重积分的计算法第十三讲线面积分的计算法第十四讲级数的收敛、求和及展开法第十五讲试题类型及解题方法分析第一、二讲高等数学中的分析问题和解决问题的方法一.数学模型及数学建模方法(P511,第一节)数学模型客观实际问题内在规律性的数学具有形式化、符号化、简洁化的特点.是一种高度抽象的模型.有狭义和广义两种解释.数学建模方法实验归纳法理论分析法(P514)物理模型数学模型求解和分析结构.可无限逼近例如,为什么用及语

4、言定义极限?用圆内接正多边形面积逼近圆面积A.圆内接正n边形的面积为(正整数),当时,有记作精度要求边数足够多找出利用极限知识可求出:测量圆面积直接观测量为r间接观测量为A半径真值为面积真值为测量圆半径得计算圆面积为任给精度要使寻找精度让记作又如,为什么用增量比的极限定义导数?运动规律平均速度瞬时速度函数平均加速度瞬时转动规律平均角速度瞬时电量函数平均电流强度瞬时质量分布平均线密度光滑曲线割线斜率切线抽象:定义导数(描述变化率问题)再如,椅子稳定问题(P515～P516)假设:四条腿一样长;地面为连续曲面.建模:设A,C两脚与地面的距离之和

5、为B,D两脚与地面的距离之和为不妨设且对任意有证明存在使证明:设又由连续函数零点定理可知,存在使即又知所以思考:对长方形板凳的稳定问题如何考虑?二.几种常用的分析问题的方法(P444-455)1.简化方法2.直观分析法3.逆向分析法4.类比法5.归纳思维6.发散思维1.简化方法复杂问题简单问题分解法变换法换元法递推法转化法单调递减。提示:令则转化为讨论下述函数在t>0时单调递减.注意说明1.与具有相同的极值点,故可用后者代替前者讨论极值问题与单调性问题.2.有些复合函数的单调性问题,可利用组成它的简单函数链的单调性传递得出.如P445例1.

6、例1.证明设,求提示：将函数化为则例2.的解.例3.设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程变换为y＝y(x)所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件数,且解:上式两端对x求导,得(1)由反函数的导数公式知(2003考研)代入原微分方程得①(2)方程①的对应齐次方程的通解为设①的特解为代入①得A＝0,从而得①的通解:由初始条件得故所求初值问题的解为思考:设提示:对积分换元,则有解初值问题:答案:2.直观分析法•通过特例或图形，寻找规律、方法和结论.•与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示.•有关几何应用题尽

7、量画出图形找几何关系.•填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.的图形关于例1.设定义在实数域上的函数直线及对称,试证为周期函数.(P.447例4)证:有因此是周期为的函数.例2证明拉格朗日中值定理时如何设辅助函数?分析:由图可知,设辅助函数(C为任意常数)都可使F(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件,因此所设辅助函数不唯一.例3.如何求函数的斜渐近线分析:由图可知,若曲线有斜渐近线则必有从而例如,求曲线的斜渐近线解:所以曲线有斜渐近线在上连续,在内存在,连接两点的直线交曲线于且试证至少存在一点使提示:如图所示,有在上应用Rolle定理C对

8、（P118题7）例4.已知证明不等式例5.已知逆向思维•反推–执果溯因•反证–利用正命题与逆否命题等价，多用于否命题•反例–找反例说明原命题不正确3.逆向分析法在上连续,在内可导