高等数学方法讲义-概率统计

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1、概率论与数理统计第一章随机事件和概率§1.1随机事件和概率一、随机事件与样本空间必然现象：在一定条件下必然出现的现象；随机现象：在一定条件下可能出现也可能比出现的现象。随机试验：对随机现象的观测。事件：随机试验的每一种结果；必然事件：在每次试验中一定出现的结果，记作；不可能事件：在任何一次试验中都不会出现的结果，记作；随机事件：在每次试验中可能出现也可能比出现的结果；基本事件(样本点)：试验中最基本的结果；样本空间：所有基本事件的集合，记作。二、事件的关系、运算及其性质：ABBAABAABA+BABAAABBBA–BA,B互斥A与包含：如果事件A发生,一定导致事件B发生,则称事

2、件B包含事件A,记为BA或AB。事件的和（并）：两个事件A与B中至少有一个发生的事件,称为事件A与B的和(并),记为A+B或A∪B。事件的积（交）：两个事件A与B同时发生的事件,称为事件A和B的交(积),记为AB或A∩B。事件的差：事件A发生但事件B不发生的事件,称为事件A与B的差,记为A–B。互不相容（互斥）：如果事件A与B不可能同时发生，即AB=Φ，则称事件A和B互不相容(互斥)。n个事件是两两互斥，则称是互不相容的。对立（逆）事件：若事件A,B满足A∪B=Ω,AB=Φ,则称B是A的对立事件(逆事件)，记为B=。事件运算满足的运算律：(1)交换律：A∪B=B∪A,AB=BA

3、；(2)结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC)；(3)分配律：(A∪B)∩C=AC∪BC,(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；37高等数学方法讲义-概率统计(4)蕴涵律：A∪BA,A∪BB,ABA,ABB；(5)重叠律：A∪A=A,A∩A=A；(6)吸收律：A∪Ω=Ω,A∪Φ=A,AΩ=A,AΦ=Φ；(7)对立律：A∪=Ω,A=Φ；(8)对偶律(德莫根律)：。。三、概率的定义概率是事件出现可能性大小的数值度量。概率的基本性质(公理)：性质1°（非负性）；性质2°(规范性)；性质3°若事件A与B互不相容,则P(A∪B)=P(A)+P(B)(有限可加性)

4、；任意可列个两两互不相容事件之和的概率，等于各事件的概率之和。概率的性质：(1)P(Φ)=0；(2)若两两互不相容，即，则；(3)P()=1–P(A)；(4)加法公式：设A,B为两事件，则；设是n个事件，则；(5)减法公式：若AB,则P(A–B)=P(A)–P(B)；一般地，；(6)P(A∪B)P(A)+P(B)；(7)若AB,则P(A)P(B)。§1.2古典概率和条件概率一、古典概型满足：(1)试验E的样本空间是有限的，即Ω={}；(2)事件的发生是等可能的，即的问题称为古典概型。古典概型中事件A的概率计算公式：。二、几何概型试验E的样本空间是一线段或有界平面区域或空间的立体

5、，且每个样本点的出现具有等可能性，则称此试验为几何概型。几何概型中事件A的概率计算公式：37高等数学方法讲义-概率统计。三、条件概率设A,B为两事件，且P(A)>0，则称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。乘法公式：设A,B为两事件，且P(A)>0，则；设是n个事件，且,则。四、全概率公式和贝叶斯公式完备事件组：设Ω为样本空间，事件满足：(1)；(2)，即有且只有一个发生，则称为Ω的一个完备(全)事件组，也称为Ω的一个划分。全概率公式：设事件是样本空间Ω的一个完全事件组，，则对任一事件B有。贝叶斯(Bayes)公式：。§1.3独立性一、事件的独立性定义：设A,B为两事

6、件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B独立。独立；独立；即事件(或)是否发生不影响事件(或)的概率的大小。独立与，与，与也独立。37高等数学方法讲义-概率统计设是n个事件，如果对于任意的k(1kn),任意的,都有，则称是相互独立的。若相互独立，则有；且有。二、独立重复试验：具有(1)每次试验都在相同条件下进行，换言之.，每次试验所对应的样本空间是相同的；(2)各次试验是相互独立的；(3)每次试验有且仅有两种结果事件：A和事件；(4)每次试验的结果发生的概率相同：P(A)=p,P()=q=1-p特征的重复进行的试验称为独立重复试验(贝努里试验)。若试验共进行n次，称为n重

7、独立重复试验(n重贝努里试验)。在n重独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是。例(四-87)设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从中任挑一箱，再从此箱中前、后不放回地任取两个零件，:求：(1)先取出的零件是一等品的概率p；(2)在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率q。例(四-88)设P(A)=0.4,P(A+B)=0.7，若事件A与B互斥，则P(B)=；若事件A与B独立，则P(B)=。例(四-88)设玻璃杯整箱出售，每箱20