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1、第七章参数估计理工大学理学院数理系计算数学教研室田作威总体是由总体分布来刻画的.总体分布类型的判断──在实际问题中,我们根据问题本身的专业知识或以往的经验或适当的统计方法,有时可以判断总体分布的类型.总体分布未知参数的估计──总体分布的参数往往是未知的,需通过样本来估计.通过样本来估计总体的参数,称为参数估计,它是统计推断的一种重要形式.现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要根据选出的样本（5个数）求出总体均值的估计.而全部信息就由这5个数组成.（假定身高服从正态分布）设这5个数是:1.651.671.681.781.69估计为1.68，这是点估计.这
2、是区间估计.估计在区间[1.57,1.84]内，假如我们要估计某队男生的平均身高.§1点估计设总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数是未知的，借助于总体X的一个样本来估计总体未知参数值的问题称为参数的点估计问题。一、基本概念例1已知某地区新生婴儿的体重X~随机抽查100个婴儿…得100个体重数据9,7,6,6.5,5,5.2,…呢?据此,我们应如何估计和而全部信息就由这100个数组成.点估计问题的一般提法设总体X的分布函数F(x;θ)的形式为已知，θ是待估参数.X1,X2,…,Xn是X的一个样本，x1,x2,…,xn是相应的一个样本值.点估计问题
3、就是要构造一个适当的统计量(称为θ的估计量)，并用它的观察值（称为θ的估计值）作为未知参数θ的近似值.寻求估计量的方法1.矩估计法2.极大似然法3.最小二乘法4.贝叶斯方法……这里我们主要介绍前面两种方法.其基本思想是用样本矩估计总体矩,其理论依据是大数定律.矩估计法是基于一种简单的“替换”思想建立起来的一种估计方法.是由英国统计学家K.皮尔逊最早提出的.二、矩估计法总体k阶矩:样本k阶矩:总体k阶中心矩:样本k阶中心矩:步骤一设总体X的分布函数中含有k个未知参数一般地,μm(m=1,2,,k)是总体分布中的参数1,2,,k的函数，即：μm=μm(
4、1,2,,k)(m=1,2,,k)计算总体X的m阶原点矩μm=E(Xm),m=1,2,,k令μm(1,2,,k)=Am(m=1,2,,k)，并解该方程组，得到：步骤二它们分别作为1,2,,k的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值.∵X1,X2,,Xn是独立同分布的，∴X1m,X2m,,Xnm也是独立同分布的.原理解释于是:E(Xim)=E(Xm)=μm(i=1,2,…,n)根据大数定律,样本原点矩Am作为X1m,X2m,,Xnm的算术平均值依概率收敛到均值μm=E(Xm)，即:解:令：，从中解得此即
5、为的矩估计量.X1,X2,…,Xn是取自X的样本,求的矩估计量.例2设总体X的概率密度为是未知参数,其中解:由密度函数知例3设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本其中>0,求的矩估计量.是均值为的指数分布,故E(X-)=D(X-)=于是E(X)=D(X)=E(X2)=解得:令：即：解：解方程组:例4求某个总体X均值,方差2的矩估计量.即:于是得和2的矩估计量:矩估计法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.矩估计法的缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用总体分布提供的信息.稍事休息最大似然估计法是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方
6、法.它首先由德国数学家高斯在1821年提出的,GaussFisher但该方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了该方法的一些性质.二、最大似然估计法设x1,x2,…xn是样本X1,X2,…Xn的观察值，称：设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合概率密度函数(连续型）或联合分布律(离散型)为f(x1,x2,…xn;).f(x1,x2,…xn;)为样本X1,X2,…Xn的似然函数.注意：x1,x2,…xn为样本X1,X2,…Xn的观察值，它们都是常数.似然函数：看作参数的函数，它可作为将以多大可能产生样本值x
7、1,x2,…xn的一种度量.f(x1,x2,…xn;)最大似然估计法就是用使达到最大值的去估计，即求，使得：一般而言，求得的是x1,x2,…xn的函数，即：通常称为参数的最大似然估计量，称为参数的最大似然估计值.(4)在最大值点的表达式中,用样本代入就得到参数的最大似然估计量.求最大似然估计的一般步骤：(1)由总体分布导出样本的联合分布律(或联合概率密度);(2)把样本的联合分布律(或联合概率密度)中自变量看成已知常数,而把参数看作自变量,得到似然函数L();(3)求似然函数L()的最大值点(常常转化为求lnL()的最大值点);L(p)=f(x1,x2,…x
8、n;p)例5设X1,X2,…Xn是取自总体X~b(1
