概率统计第二章经典讲义

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1、连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.§4连续型随机变量及其概率密度对于随机变量X的分布函数F(x),如果存在非负函数f(x),使得对任意实数x有则称X为连续型r.v.,f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度.连续型r.v.及其概率密度函数的定义1o2o这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.v.X的概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为13o概率密度函数的性质故X的密度f(x)在x这一点的值

2、，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.=f(x)若x是f(x)的连续点，则：40若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v.理论中所起的作用与在离散型r.v.理论中所起的作用相类似.50连续型r.v.取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为说明1)对连续型r.v.X,有2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件,由此可见，由P(A)=0,不能推出并非必然事件由P(B)=1,不能推出B=即分布函数是密度函数的变上限定积分.若X是连续型r.v.，X～f(x),则F(x)=P

3、(Xx)=且在f(x)的连续点，连续型r.v.的分布函数例1设r.v.X的概率密度为(1)确定常数k;(2)求X的分布函数F(x);(3)求P{10，则称X服从参数为和的正态分布.(２)正态分布的图形特点正态分布

4、密度函数的曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大值:令x=μ+c,x=μ-c(c>0),分别代入f(x),可得f(μ+c)=f(μ-c)且f(μ+c)≤f(μ),f(μ-c)≤f(μ)这说明曲线f(x)向左右伸展时，越来越贴近x轴。即f(x)以x轴为渐近线。当x→∞时，f(x)→0,用求导的方法可以证明，为f(x)的两个拐点的横坐标。x=μσ例2下面是我们用某大学大学生的身高数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学大学生的身高服从正态分布。人

5、的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这反映了服从正态分布的随机变量的特点。除了身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸、纤维的强度和张力、农作物的产量、小麦的穗长和株高、测量误差、射击目标的水平或垂直偏差、信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.(3)设X~,X的分布函数是(4)标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用和表示：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题

6、.,则~N(0,1)设定理1书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算.（5）正态分布表表中给的是x>0时,Φ(x)的值.当x<0时若~N(0,1)若X～N(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得：这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(

7、X

8、1)=2(1)-1=0.6826P(

9、X

10、2)=2(2)-1=0.9544P(

11、X

12、3)=2(3)-1=0.9974（6）3准则将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y的取值几乎全部集中在区间内，这在统计学上称作“3法则”例3假设

13、某地区成年男性的身高（单位：cm）X～N(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。解:根据假设X～N(170,7.692)，则故事件{X>175}的概率为P{X>175}==0.2578解:设车门高度为hcm,按设计要求P(X≥h)≤0.01或P(X