第一、二讲(高等数学方法简介)

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1、科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙,是由必然王国通向自由王国的桥梁。数学方法是数学的灵魂高等数学方法主讲教师:张晓宁前言一.为什么要学“高等数学方法(参考前言第一段)1.科学方法的重要性科学是什么,为什么科学方法桥梁与钥匙技术做什么,怎么做2.数学方法的含义思维的体操(思路)思维方法数学方法数学科学的语言(表达)对数学规律的认识解题方法生活的需要(是数学的灵魂)(应用)二.“高等数学方法”的结构与学习方法(参考前言第二、三段)第一部分(第一至第七章)每节包含:方法指导,实例分析,相关问题第二部分(第八至第十一章)包

2、括综述和提高(从古典数学向近代数学靠拢)学习方法:1.将数学内容和数学方法相结合2.重视分析问题和解决问题的方法3.学习要纵横结合,着眼于提高数学素养华罗庚（1910-1985）“聪明在于勤奋,天才在于积累”“由薄到厚,由厚到薄”“学而优则用,学而优则创”注意问题：认真听课，扼要记录，多做题目，总结规律。参考书张晓宁、李安昌：高等数学方法中国矿业大学出版社教学安排参考第一、二讲高等数学中的方法综述第三讲研究函数与极限的基本方法第四讲导数的计算方法及微分中值定理应用第五讲导数应用的方法第六讲积分学的概念、性质和不定

3、积分的计算法第七讲定积分的计算、证明和解应用问题的方法第八讲几类常微分方程的求解法第九讲空间解析几何方法及其应用第十讲研究多元函数微分学概念的方法第十一讲多元函数微分法及其应用第十二讲二重及三重积分的计算法第十三讲线面积分的计算法第十四讲级数的收敛、求和及展开法第十五讲试题类型及解题方法分析第一、二讲高等数学中的分析问题和解决问题的方法一.数学模型及数学建模方法(P511,第一节)数学模型客观实际问题内在规律性的数学结构.具有形式化、符号化、简洁化的特点.是一种高度抽象的模型.有狭义和广义两种解释.数学建模方法•

4、实验归纳法•理论分析法(P514)物理模型数学模型求解和分析例如,为什么用"ε−N"及"ε−δ"语言定义极限?•用圆内接正多边形面积逼近圆面积A.圆内接正n边形的面积为2ππoA=nrsincosnnnπr(n=3,4,5,)n找出∀ε>0,∃N(正整数),当n>N时,有A−A<ε,n精度要求边数足够多可无限逼近记作limAn=A.n→∞利用极限知识可求出:sinπA=limπr2ncosπ2πn=πrn→∞n•测量圆面积直接观测量为r2A=πr间接观测量为A寻找精度δ>0,半径真值为r测量圆半径得r让r−r0

5、<δ0面积真值为A计算圆面积为任给精度ε>0,0f(r)=πr2要使f(r)−A<ε022记作limf(r)=limπr=πr0r→r0r→r0又如,为什么用增量比的极限定义导数?lim∆s运动规律s=s(t)平瞬均时速度v=∆t→0∆t∆v速度函数v=v(t)平瞬均时加速度a=lim∆t→0∆t∆θ转动规律抽象:定义导数θ=θ(t)平瞬均时角速度ω=lim∆t∆y∆t→0y′=limlim∆q电量函数q=q(t)平瞬均时电流强度I=∆x→0∆x∆t→0∆t(描述变化率问题)ρ=lim∆m质量分布m=m(x)平均

6、线密度∆x∆x→0lim∆y光滑曲线y=y(x)割切线线斜率k=∆x→0∆x再如,椅子稳定问题(P515～P516)假设:四条腿一样长;地面为连续曲面.建模:设A,C两脚与地面的距离之和为g(θ)∈C[0,π]2B,D两脚与地面的距离之和为f(θ)∈C[0,π]2不妨设g(0)=0,f(0)>0,B且对任意θ有f(θ)g(θ)=0,B′A′θ证明存在θ∈(0,π),使CA02f(θ)=g(θ)=0.C′D′00Dπ证明:设h(θ)=f(θ)−g(θ)∈C[0,],2又h(0)>0,h(π)<0,2由连续函

7、数零点定理可知,存在θ∈(0,π),02使h(θ)=00即f(θ)=g(θ)00又知f(θ0)g(θ0)=0,所以f(θ0)=g(θ0)=0思考:对长方形板凳的稳定问题如何考虑?二.几种常用的分析问题的方法(P444-455)1.简化方法2.直观分析法3.逆向分析法4.类比法5.归纳思维6.发散思维1.简化方法复杂问题简单问题分解法变换法换元法递推法转化法例1.证明单调递减。提示:令则转化为讨论下述函数g(t)=e−t(t3+3t2+6t+6)g′(t)=−e−tt3<0(t>0)在t>0时单调递减.注意说明1.

8、与具有相同的极值点,故可用后者代替前者讨论极值问题与单调性问题.2.有些复合函数的单调性问题,可利用组成它的简单函数链的单调性传递得出.如P445例1.44y(n)例2.设y=sinx+cosx,求.提示：将函数化为则y(n)=4n−1cos(4x+n⋅π)2例3.设函数内具有连续二阶导数,且(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程2dxdx3+(y+sinx)()=02d