无穷维情形下的Rolle定理

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1、第28卷第5期2010年lO月中国民航大学学报JOURNALOFCIVILAVIATIONUNIVERSITYOFCHINAV01．28No．5October2010无穷维情形下的Rolle定理杨彩萍(中国民航大学理学院，天津300300)摘要：设n是自反的实Banach空间X中的有界开凸集，l，为一实赋范线性空间。证明了一个无穷维情形下的Rolle定理：如果算子A：n—y在n上强连续，在n内Frachet可微，并且存在Y上的非O连续线性泛函^使得以Ax)=0对一切聋∈a仃成立，1,1至少存在一点髫∈力，使对一切H∈X，都成立以A’(算)H)=0。关键词：Rolle定理：Fr6chet可微

2、；强连续；自反的Banach空间中图分类号：0177．91；0177．92文献标识码：A文章编号：1674—5590{2010)05-0062—03InfiIliteDimensionalVersionofRoile’STheoremYANGCai-ping(College万Science，CAUC，Tianjin300300，China)Abstract：LetnbeaboundedopenconvexsubsetofareflexiverealBanachspaceXandletYbearealnormedlinearspace．Weobminallinfinitedimensiona

3、lversionofRoHe’stheorem：iftheoperatorA：n—}Yisstronglycontinuouson力．Frbchetdifferentiableinnandthereexistsanon-zerocontinuouslinearfunctionalfofYsuchthat人Ax)=0forall茹∈af2，thenthereexistsatleastonepoint茗∈力suchthatf(A’(x)M)=0forallⅡ∈X．Keywords：RoHe7stheorem；Fr宅chetdifferentiable；stronglycontinuous；re

4、flexiveBanachspace首先回顾Rolle定理。定理1设定义于闭区间陋，bl_L的函数．厂满足：i)．厂在闭区间【0，6】上连续；ii)．厂在开区间a，b)内可导；iii)f(a)=厂(6)，则至少存在一点c∈(口，b)，满足．厂’(c)=0。我们知道，仅就形式而言，Rolle定理对于向量值函数并不成立。例如，令f(t)=(COS￡，sint)，t∈【0，217"1，则显然．厂在[0，2仃]上连续，在(0，2丌)内可微，并且．厂(0)=f(2cr)=(1，0)，但是if，(f)I=、／F五习K可研=lVt∈(o，2w)尽管1985年Marden[q、1992年Evard与Jaf

5、arit2】对复变数解析函数揭示了Rolle定理的本质，但直到1995年，Furl和Martellil31才基本解决了Rolle定理对向量值函数的推广问题，其本质含义是：在闭域上连续、开域内可微的向量值函数，Rolle定理情形下的边界值确定了开域内某点的微分性质。设府表示n维欧氏空间，其通常内积和由内积导出的范数分别表示为<·，·>和”0。对于n≥l、z。∈彤以及r>0，记B(xo，r)={髫∈R“：0菇一戈o

6、

7、≤rlB(xo，r)={戈∈R“：0戈一菇o0

8、

9、=rlFurl和Martelli证明了下列结果[31。定理2设映射A：B(x。，r

10、)cR’啪m满足i)A在B(xo，r)上连续；iiM在B(xo，r)内Fr$chet可微；iii)存在一个非0向量l，∈R”满足白，A(菇))=0，V髫∈S(xo，r)，则存在一个向量c∈B(x。，r)，使得(y，A’(c)u)=0Vu∈R”推论1定理2的结论仍然成立，如果其中条件iii)替换为：收稿Et期：2010--03--02：修回日期：2010-04—20作者简介：杨彩萍(1964--)，女，山西晋城人，副教授。硕士，研究方向为运筹学与控制论第28卷第5期杨彩萍：无穷维情形下的Rolle定理63iv)存在一个非0向量y∈R“满足(v，A(茗))在S(知，r)上取值为一常数。定理3设

11、映射A：B(xo，r)CRn一÷尺“满足iM在B(x。，r)上连续；ii)A在8(xo，r)内Fr色chet可微；iii)存在一个非0向量∥∈R“以及某彳。∈B(x。，r)满足(矽，A(戈)一A(Zo))≤0(或≥0)V石ES(xo，r)则存在一个向量cft．B(x。，r)，使得(矽，A’(c)“>=0V配∈Rn1996年，Ferre——指出，定理2在产中不成立。本文的目的是要建立一个无穷维赋范空间框架下的Rolle定理