_变化率与导数_教学设计_王芝平

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1、２０１３年第５２卷第７期数学通报３３“变化率与导数”教学设计①王芝平（北京宏志中学１０００１３）１内容和内容解析意义，会用平均变化率刻画函数的状态变化；能用本节课是人教Ａ版数学选修２－２第一章第自己的话解释函数瞬时变化率的概念，亦即导数１．１节的内容，具体内容包括：变化率问题、导数的概念，会求具体简单函数的平均变化率和某点的概念及导数的几何意义等．的瞬时变化率；本节内容的教学需要４个课时，这是前２个（２）体会导数概念形成过程中蕴含的“用已课时（两节课连排）的教学设计．之所以如此安排，知探究未知”的思想方法、“逼近”思想和“以直代是基于如下考虑：导数是微积分最基础的核心概曲”的思想，体会数学

2、概念形成的“归纳———演绎”念，平均变化率和瞬时变化率是为导数的引入作的模式．铺垫的过渡性概念，所以将教材中的两节课整合（３）了解导数创立的时代背景，进一步感受在一起讲授，可有效地避免把记忆“平均变化率”数学知识的产生是水到渠成的，数学的发展与人的定义这个陈述性知识与熟练“平均变化率”的计类文明的发展相互促进，感受数学家的智慧和算方式等程序性知识作为教学的终极目标，确保精神．导数概念形成过程中所蕴含的策略性知识得到应目标解析以高台跳水为例，能用函数平均有的重视．变化率的大小表示函数变化的快慢，知道平均变函数变化快慢、单调性、极值、最值和生活中化率不能准确表示函数在某处的变化状态；通过优化等

3、问题都是通过函数变化率的概念来描述或探求跳水运动员在某一时刻的瞬时速度和对应的解决的．函数变化率的概念有两种不同的层面，一运动轨迹（曲线）在某点的切线斜率，经历从平均个是刻画函数在某一区间内的平均变化状态，即变化率到瞬时变化率的过程，并在反思瞬时变化“平均变化率”；另一个是刻画函数在某处的变化率的形成过程基础上，总结计算方法，由特殊到一状态，即“瞬时变化率”———“平均变化率”的极限般地归纳抽象出导数的概念，理解其本质———瞬值，也就是“函数的导数”．作为微积分的重要内容时变化率，并体会其中蕴含的“用已知探究未知”的导数，是为了描述运动质点的速度和曲线的切的思想方法、“逼近”思想和“以直代

4、曲”的思想，体线斜率等问题而产生的，更一般地说，导数是描述函数在某一点处“变化快慢”的一个量．会学习数学概念的基本策略：“归纳—演绎”模式．基于上述分析，本节课的重点是：知道瞬时变３教学问题诊断分析化率（平均变化率的极限）就是导数，体会导数概本节课最困难的应该是导数概念的建立，即念形成过程中蕴含的思想———无限逼近思想、极如何想到从平均变化率过渡到瞬时变化率．为此，限思想、“以直代曲”思想，理解导数的几何意义．可以通过学生比较熟悉的运动物体的瞬时速度、２目标和目标解析曲线的切线等反映导数思想和本质、又比较贴近（１）能陈述函数平均变化率的概念及其几何学生实际的具体例证，引导学生经历由平均变化

5、①本文是全国教育科学“十一五”规划２０１０年教育部重点课题“中小学数学课程核心内容及其教学研究”（课题批准号：ＧＯＡ１０７０１０）和北京市教育学会“十二五”教育科研立项课题“基于培养学生创新意识的‘数学开放性变式研究’的实践研究”的阶段性研究成果．３４数学通报２０１３年第５２卷第７期率到瞬时变化率、割线斜率到切线斜率的逐步（无不同时刻的速度进行科学的分析，找出不足，再进限）逼近的过程，归纳抽象概括出导数的概念．行针对性的训练．那么怎样求她在落水前某一时教学时可以从平均变化率开始，经历平均速刻，如ｘ＝１ｓ时的速度呢？度到瞬时速度、割线斜率到切线斜率的演变过程，设计意图高台跳水运动是学生们喜闻

6、乐见ΔｙΔｙ的体育比赛项目，以此引入能避免因背景的复杂不断理解及当Δｘ→０时，→某个常数这ΔｘΔｘ可能引起对数学知识学习的干扰，并为归纳函数样共同的、本质的、核心的要素，让学生感受到在的“平均变化率”概念提供了实际背景．某一时刻、在曲线上的定点处，同样有变化快慢的活动预设学生会根据物理学中的知识，用区别，帮助学生从中领悟什么是平均变化率？什１ｓ“附近”的平均速度来近似代替１ｓ时的速度，么是瞬时变化率？最后在Δｙ的结构特征引导教师可在学生讨论的基础上启发大家完成下列问Δｘ题：试分别计算０≤ｘ≤１，１≤ｘ≤２，０．５≤下，在代数与几何两个维度的意义启发下，逐步理ｘ≤１，１≤ｘ≤１．５时运动员的

7、平均速度为解导数这一概念的本质含义———瞬时变化率．多少？本课的难点是：在平均变化率的基础上去探学生通过手工计算得到运动员在这４个时间求瞬时变化率，理解导数的本质．－段内下面的的平均速度分别为：ｖ１＝１．６０（ｍ／４教学支持条件分析－－ｓ），ｖ２＝－８．２０（ｍ／ｓ），ｖ３＝－０．８５（ｍ／ｓ），本节课无论是平均变化率的数值计算，还是－（ｍ／ｓ）．ｖ４＝－５．７５代数式的化简，以及曲线割线向切线逼近的过程问题２你知道这４