变化率与导数(教学设计

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1、3.1变化率与导数（教学设计）（2）3．1．2导数的概念教学目标：1、知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。2、过程与方法：①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点：在平均变化率

2、的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢？二、师生互

3、动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算的值？5学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ΔtΔt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-130099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049……….….…….…让学生分组讨论，板演，

4、展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即问题四：运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示?学生意识到将代替2,可类比得到（1）气球在体积时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示（2）如果将这两个变化率问题中的函数用来表示，那么函数在处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:我们称它为函数在

5、出的导数，记作或，即说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率5（2），当时，，所以例1：求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2　　再求再求解：例2：求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：例3（课本P75例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时候，原油温度（单位：）为y=（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。步骤：①启发学生根据导数定义，再

6、分别求出和②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？③大家是否能用同样方法来解决问题二？①师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢解：在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和根据导数定义，所以同理可得:在第时和第时，原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以5的速率下降，在第附近，原油温度大约以的速率上升．注：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况．备注：（1）函数f(x)在x=x0处的导数即为函数y=f(x)在x=x0年的瞬时变化率；（2）瞬时变化率是平均变化率的极限；（3）=x-x0，当x0时，

7、xx0，所以（4）由定义知：求f(x)在x0年的导数的步骤为：1）求增量：y=f(x+x)-f(x)2)算比值：3）求极限：y’=例4、求下列函数在相应位置的导数（1），（2），（3），分析：根据导数的定义。解：（1）因为：==所以f’(2)=（2）因为：===2所以：f’(2)=（3）因为：==所以：f’(2)=让学生对导数的概念有进一步的理解，此概念较抽象，学生要熟练掌握它较难，因为通过这例子能使学生更好地理解导数的概念。5三、课堂小结、巩固反思：1、瞬时速度的概