3.1变化率与导数(教学设计)(1)

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1、3.1变化率与导数（教学设计）（1）3．1．1变化率问题教学目标：知识与技能目标：了解导数概念的实际背景，了解变化率和平均变化率的概念。过程与方法目标：通过问题探索、观察分析、归纳总结等方式，引导学生从变量和函数的角度来描述变化率，为导数概念的产生奠定基础。情感、态度与价值观目标：通过学习本节课，培养学生的动手能力、合作学习能力，在对实际问题分析的过程中，体会数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成良好的思维品质和锲而不舍的铁钻研精神。教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；教学难点：平均变化率的概念．教学过程：一．创设情景、新课引入为了描述现

2、实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．二．师生互动、新课讲解（一）问题提出问题1气球膨胀率将班内同学平均分成4组，每组发一只气球，各有一位同学负责将气球吹起，其他同学观察气球在吹起过程中的变化，并做好准备回答以下问题：（1）气球在吹起过程中，随着吹入气体的增加，它的膨胀速度有何变化？（2）你认为膨胀速度与

3、哪些量有关系？（3）球的体积公式是什么？有哪些基本量？（4）结合球的体积公式，试用两个变量之间的关系来表述气球的膨胀率问题？总结：可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?n气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是n如果将半径r表示为体积V的函数,那么分析:，⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了hto气球的平均膨胀率为可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?3问

4、题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?思考计算：和的平均速度在这段时间里，；在这段时间里，探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，，所以，虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用

5、平均速度不能精确描述运动员的运动状态．例1（tb11500601）求下列问题的平均变化率（1）已知函数f(x)=x+1 ，求x取从1到2时的平均变化率；（2）已知函数f(x)=，求x取从1到2时的平均变化率；（3）已知函数f(x)=lnx，求x取从1到2时的平均变化率；（4）已知函数f(x)=sinx，求x取从1到2时的平均变化率。（解：（1）1；（2）；（3）ln2；（4）sin2-sin1）（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设,(这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2,同样)3

6、．则平均变化率为思考：观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?f(x2)y=f(x)y△y=f(x2)-f(x1)f(x1)直线AB的斜率△x=x2-x1x2x1xO3例2：已知函数f(x)=的图象上的一点及临近一点,则．解：，∴例3：求在附近的平均变化率。解：，所以所以在附近的平均变化率为三．课堂小结、巩固反思：1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率四．布置作业A组：1、（课本P79习题3.1A组NO：1）2、(tb11500701)已知某质点运动规律满足s=t2+3，则在时间(3,3+t)中相应的平均速度为（A）（A）6+t(B)3+t(C)

7、9+t（D）6+t+3、(tb11500801)在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+x,2+y），则为（C）（A）x++2(B)x--2(C)x+2(D)2+x-4、(tb11500801)在平均变化率的定义中，自变量的增量是（D）（A）x>0(B)x<0(C)x=0(D)x0B组：1、(tb11500702)过曲线f(x)=x3上两点P（1，1），Q（1+x,1+y）作曲线的割线，求当x=0.1时割线的斜率。（答：3.31）2、(tb11500803)函数y=3x2-2x-8在x1=3处有增量x=0.5，求f(x)在x1到x1+x上的平均

8、变化率。（答：17.5）