河南省南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学（理）试题（含答案）

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1、南阳市2019届高三上学期期末质量评估数学试题（理）第Ⅰ卷选择题(共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为虚数单位，，其中，则A．B．C．2D．42．设集合,，若，则A.B.C.D.3.把四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有A.12种B.24种C.36种D.48种4.已知双曲线C：的一条渐近线方程为，则C的离心率为A、B、C、2D、5.数列首项，对于任意，有，则前5项和A、121B

2、、25C、31D、356.下边程序框图的算法思路是来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图时，若输入的分别为16、18，输出的结果为，则二项式的展开式中常数项是A.-20B.52C.-192D.-1607．已知满足，若存在使得成立，则的取值范围是A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[10，+∞）8.设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒有，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为A．B．C．D．9、函数在[0，π]内的值域为，则ω的取值范围是 

3、 A、B、C、D、10．在区间[0，4]上随机取两个数x，y，则xy∈[0，4]的概率是A．B．C．D．11．已知三棱锥S﹣ABC的底面△ABC为正三角形，顶点在底面上的射影为底面的中心，M，N分别是棱SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱，则三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积是A．12πB．32πC．36πD．48π12.已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是A．B．C．D．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设函数，则14.已知，，若向量与共

4、线，则在方向上的投影为_________．15.等比数列的前项和记为，若，则__________．16.抛物线的焦点为，已知点为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为__________．三、解答题（本大题必作题5小题，共60分.选作题2小题，考生任作一题，共10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分为12分）已知中，角A，B，C成等差数列，且,为角A的内角平分线，．（1）求三角形内角C的大小；（2）求△ABC的面积．18、（本小题满分为1

5、2分）某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：t[0，15）[15，30）[30，45）[45，60）[60，75）[75，90）男同学人数711151221女同学人数89171332若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”．(1)将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？(2)从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动．（i）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii）记抽取的“读书迷

6、”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．19.（本小题满分为12分）如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2.（1）若点在线段上，且，证明：；（2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值.20．（本小题满分为12分）一张坐标纸上涂着圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与的交点为.（1）求的轨迹的方程；（2）直线与的两个不同交点为,且与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．21．（本小题满分为12分）已知函数(1)求函数

7、的极值；(2)当时，过原点分别做曲线与的切线，，若两切线的斜率互为倒数，求证：.选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)已知点的极坐标为,求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）求的解集；（2）设函数，若对成立，求实数的取值

8、范围.