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1、利用现代技术探究数学奥秘【摘要】通过借助电脑工具探究自编自解题目“已知圆A：x2+y2二R2(R〉0),定点B(a,0)(a>0),E是BC所在直线上的一点，且点E分CB的比为入。一、问题的引出：已知圆A：x2+y2二R2(R>0),定点B(a,0)(a>0),E是BC所在直线上的一点，且点E分CB的比为入。(1)过点E作BC的垂线与AC所在的直线相交于点P,求点P的轨迹。(2)若AC交圆于另一点F,过E点作直线AC的平行线交BF于G点，过点E与G分别做直线BC与BF的垂线，求这两条垂线交点H的轨迹。我对该题进行了探索，在求解过程中我借助了电脑工具采用了几个有特色的方法，探究出很多重要的结论
2、，下面介绍一下我的探究过程，请专家给予指导。、探究过程:探究一：E为特殊点的情况：1•若E为BC的中点借助几何画板工具很容易描绘P点的轨迹图形是以A,B两点为焦点的椭圆(如图3),证明过程可以借助“动点P到定点A,B的距离之和等于定值”这一关键(证明过程略)。从图3中可以得出第一个猜想：BC的中垂线可能是椭园的切线，下面给出证明过程：证明：若BC的垂直平分线EP不是椭圆P的切线，则直线与椭圆还有一个交点P',所以应有IP'A
3、+
4、P,B
5、=R,而P'C
6、,所以
7、P，A
8、+
9、P'C
10、=R,所以P'、A、C三点共线，所以P'与P重合，所以猜想是正确的。若设圆A：x2+y2=R2(R>0),定点B
11、(a,0)(a>0),圆上有一动点C(x0,yO),则容易得出：P点的轨迹方程为：■+■二1O由此得出定理一：定理一：圆A内有一定点B,圆上有一动点C,线段BC的垂直平分线交AC于点P.则点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，该垂直平分线是该椭圆以P为切点的切线。若AC交圆于F,线段BF的垂直平分线交AF于点J,EP与GJ交于点H,问H的轨迹？借助几何画板的演示可以看出H的轨迹是一条直线，根据图象的特点可以得出猜想二该直线可能是椭圆的准线。下面给出证明过程：设圆A：x2+y2二R2(R>0)内有一定点B(a,0)(a>0),圆上有一动点C(x0,yO),则容易得出：直线PE的方程为：y-■二-■
12、(x-■)(1)直线GJ的方程为：y+■(x-H)(2)考虑到：x・・+y■■二R2(R>0)容易得：H的轨迹是直线方程为：x=B因为P点的轨迹方程为・+・=1,容易证明x=・，即是椭圆■+■"的准线。由此得出定理二：定理二：圆A内有一定点B,圆上有一动点C,线段BC的垂直平分线交AC于点P,AC交圆于F,线段BF的垂直平分线交AF于点J,EP与GJ交于点H,则H点的轨迹是P点轨迹椭圆的一条准线。利用几何画板拖动点B,当点B在圆上或是在圆外的时候，发现点P的轨迹不是椭圆了，由此得出猜想三，这时点P的轨迹是是双曲线，点H的轨迹是该双曲线的一条准线。证明：当点B在圆上时，非常简单发现点P与圆心A
13、是重合的，说明这时点P年轨迹就是一点A,点H的轨迹也是点A,说明猜测是不正确的，当点B在圆外时，由双曲线的定义知，点P的轨迹是双曲线，因为点P与点H的轨迹方程分别是■+B=l,x=B,这时a>R所以以上两个方程变为：■-与x=H显然直线x二■是■-・=1的一条准线。由此得到定理三：定理三：若B点在圆A上，圆上有一动点C,线段BC的垂直平分线交AC于点P,AC交圆于F,线段BF的垂直平分线交AF于点J,EP与GJ交于点H,P点与H的轨迹都是圆心点A,若B点在圆外，点P的轨迹是一双曲线，点H点的轨迹是该双曲线的一条准线。从该题的探究过程中发现猜想的结论当点B在圆上时点P的轨迹是双曲线，而在证明过
14、程中得出点P的轨迹确是一个点。因此可以有以下心得：就是单纯的从几何画板的图形展示中得出的结论有时是不可靠的，必须经过科学的证明才可信。2.E与C点重合容易得P点的轨迹是一个圆，其方程为:x2+y2=R2(R>0)3.E与点B重合设C(Rcos0,Rsin0),则E(a,0)KBC二・，则PE的方程：y=・(x-a),AC的方程为：y=tanBx,将PE与AC的方程联立得点P轨迹的参数方程为:x=Hy=B经几何画板演示，图形是由两个类似椭圆形成的图形如图5：探究二：E为一般点的情况：若点E为一般点，点E分CB的比为入。(1)过点E作BC的垂线与AC所在的直线相交于点P,求点P的轨迹。(2)若A
15、C交圆于另一点F,过E点作直线AC的平行线交BF于G点，过点E与G分别做直线BC与BF的垂线，求这两条垂线交点H的轨迹。通过几何画板演示，由此得出一个猜想，猜想四：(2)点H的轨迹还是一条直线。下面给出该猜想的证明过程：证明：设圆A：x2+y2=R2(R>0)内有一定点B(a,0)(a>0),圆上有一动点C(Rcos6,Rsin0),则E(■,■),F(-Rcos0,-Rsin0),G(■,■)KH=H,KB
