高等代数研究生招生考试真题2

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1、高箋代数研究生招生考试真题2高等代数试题特别声明：1考试时间：180分钟；满分150分。2下文中出现的P表示一般数域；R表示实数域。-选择题（每题3分，共15分；每题只有一个正确答案）1给定命题：%1实系多项式在复数域上不可约多项式只可能是一次的;%1，2元复系二次型/（切在复数域上规范形为才+卅+・・・+疋;%1复矩阵A与对角矩阵相似充分必要条件为A的初等因子是一次的;%1整系多项式在有理数域上没有有理根，则该多项式在有理数域上一定不可约。对于命题①，②，③，④，下列说法正确的是A)①和③错误，②和④正确;B）①和③正确，②

2、和④错误;①和②错课，③和④正确;C)/、a\a2a3/、a3la33a32‘001、<100、6Z99d°3,B=d”^22,Ps=010'卩2=001a3la32°33丿aia3ai2)JOO丿<010,/D）①和②止确，③和④错课。已知矩阵A=•

3、A

4、工0・axxx+a2x2+a3x3+a4x4=a5.V、‘113方程组＜g+阮+b血+g=%,的通解（也称全部解）为1+k-1C內+C2X2+C3X3+C4X4=C5902d]兀]+d2x2+d3x3+d4x4=d53A)P/■迟；B)P2A'P^C)

5、伙gR).设％=(q,b/,C/,dy(i=1,2,・・・,5),则P}P2Aa;D)P/A]P2,A）务一定可以由a2,a3,a4线性表示；B）⑦一定不能由a2,a3,a4线性表示;C）勺一定可以由WSS线性表示；D）勺是否可以由QiSS线性表示不确定。(a、(a1>4设4=a,B=a1,c=a1侧

6、4

7、而言，下列结论一定成立。A)

8、A

9、=0；B)

10、A

11、为奇数；C)

12、A

13、为偶数；

14、D)

15、A

16、=1.二填空题(每题3分，共15分)1三阶矩阵A的特征值为1,2,3,每为A的代数余子式，则久+码+绻二。2R上由矩阵A全体实系多项式组成的线性空间的维数为，其小‘100A=0co0、00ar3n阶矩阵A,B,C满足A实对称,AB=0,AC+3C=0,R(B)+/?(C)=n,贝U实二次型/(%)的标准型为，其中R(B),R(C)表示矩阵5C的秩，且R(B)=r0;②

17、矩阵A的所有特征值都大于零；③正惯性指数等于仏④存在可逆矩阵"，使A=UTU-⑤矩阵A的顺序主子式全大于零”屮，与/(兀)正定等价的有o三(本题满分12分)矩阵4秋“实对称，冲色，…‘勺(乙H0)为〃维列向量，口Aat=a2,Aa2=…，Aan^=an.Aan=0.(1)证明⑦,色，…，色线性无关；(2)求矩阵A的所有特征值和对应的特征向量。0•…02…0四(本题满分8分)矩阵A二(〃＞1),每为A的代数余子式。0…n-…0求Au+At2tA如•五(本题满分10分)证明(f(x)h(xg(x)h(x))=(/(x),g(

18、x))h(x),其中/(兀),g(x),h(x)为数域P上非零多项式，且加兀)的首项系数为1.六(本题满分12分)设V是7?维向量空间，QH0是V的固定向量。证明(1)V,={%

19、(x,cz)=0,xeV}是V的子空间；(2)%维数为n-1.七(本题满分12分)设V=P[x]3,p(x)=c0+cx+c2x2eV.定义证明/[，九‘厶是V上的线性函数,并求V的一组基卩1(兀),卩2(兀)，卩3(兀)，使tU为其对偶基。八(本题满分12分)是欧氏空间V的两个了空间，证明(%+%)丄=%丄C%1,(%6岭)丄=%丄+岭丄・九(本

20、题满分9分)设三维线性空间V上定义的线性变换A在基s’％6下的矩/、a\a2a[3阵A二a2}a22a23.求（1）/4在基©，勺，®下的矩阵；（2）/4在基転2,6伙工0）下的矩阵;（3）/在基©+S2，®下的矩阵。十（本题满分10分）设/（x）,g（x）是数域P上多项式，且/（疋）+心（疋）可被1+x+x2整除。设F（x）=/（x）g（x'）,证明兀-1是FS）和F⑴的公因式。（本题满分12分）计算下列行列式的值:1333…•33233••-3(1)Dn=3333••-3•3334••-33333•…nahcd-c-b

21、cid(2)D=-c-dab-dc-ba十二（本题满分11分）刃阶矩阵A可对角化，西为特征值入对应的特征向量。证明方程组（A-A}E）x=x}无解，其中E为〃阶单位矩阵。十三（本题满分12分）矩阵AgPmXft,V,,V2分别表示方程组Ax=0和&=0的解空间。证明严=%㊉匕