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《苏州大学00-09高等代数真题 2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、29高等代数2000年真题1．（14分）设f(x),g(x),h(x)都是数域P上的一元多项式，并且满足：（1）（2）证明：能整除。2．（14分）设A是nr的矩阵，并且秩（A）=r，B，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。3（15分）求矩阵的最大的特征值，并且求A的属于的特征子空间的一组基。４(14分)设．2929高等代数５(14分)设A,B都是实数域R上的矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等．证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明：６．(14分)设A是实对称矩阵,证明：是一个正定矩阵．证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．７．(
2、15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设但是．证明：是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．2929高等代数2000年真题答案1、证明：（3）将（3）带入（1）中，得到：．注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。2、证明：，即方程．3、解：，当时，求出线性无关的特征向量为，则是的特征子空间的一组基．4、解：不妨设则矩阵对应的特征值为：故5、利用构造法，设，令，，两边取行列式得．（１），两边取行列式得．（２）2929高等代数由（１），（２）两式得＝．（３）上述等式是假设了，但是（３）式两边
3、均为的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（），从而一定是恒等式．注：此题可扩展为Ａ是矩阵，Ｂ是矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式．6、设为Ａ的任意特征值，则的特征值为．故是一个正定矩阵．7、证明：令．（１）用左乘（１）式两边，得到．由于，，带入（１）得．（２）再用左乘（２）式两端，可得．这样继续下去，可得到．线性无关．＝．Ａ在此基下的矩阵为，可见,,即A的核的维数为1．2929高等代数2001年真题2929高等代数2929高等代数2002年真题1．（15分）设，都是矩阵。解矩阵方程。2．（20分）设
4、，是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵，使得是一个对角矩阵。3．（10分）设都是非负整数。设。证明：整除。4．（10分）设，都是矩阵，是矩阵，并且的秩是。证明：如果，则。2929高等代数5．（10分）设是矩阵，并且是可逆的。证明：如果与的所有的元素都是整数，则的行列式是或。6．（10分）设是反对称矩阵，证明：是半正定的。7．（15分）设是矩阵。如果，并且的秩是，是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。8．（10分）设是有理数域上的线性空间，的维数是，与是的线性变换。其中可对角化，并且。证明：存在正整数，使得是零变换。2929高等代数2
5、003年真题2929高等代数2929高等代数2929高等代数2004年真题2929高等代数2004年真题答案2929高等代数2929高等代数2929高等代数2929高等代数2929高等代数2005年真题1、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么?2、（20分）设A=。v是的A最大的特征值。求A的属于v的特征子空间的基。3、（20分）设f（x）是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f（m）和f（n）都是奇数，则f（x）没有整数根。4、（20分
6、）设A是一个2n×2n的矩阵。证明：如果对于任意的2n×2矩阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。2929高等代数6、（20分）设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价：（1）AB=O,O为零矩阵（2）秩(A)+秩(B)=n7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明：（1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。（2）存
7、在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。8、（10分）设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵（m>n）,且AC=CB,C的秩为r.证明:A和B至少有r个相同的特征值。注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。2929高等代数2006年真题一，用正交线性替换将实三元二次型变成标准形，并写出所用的非退化线性变换。二、设。A是否相似于一个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵C，使得为对角阵，且写出此对角阵。三、设是一个整系数多项式，证明：如果是一个奇数，则不能被x-1整除，也不能被x+1整除。四、设A是一个矩阵，证明：如果A的秩等于的秩，则齐次线性方程
8、组AX=0与齐次线性方程组X=0同解。2929高等代数四、设V是有
