苏州大学历年高等代数真题.pdf

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1、精品文档2000年真题1．（14分）设f(x),g(x),h(x)都是数域P上的一元多项式，并且满足：(x41)f(x)(x1)g(x)(x2)h(x)0（1）(x41)f(x)(x1)g(x)(x2)h(x)0（2）证明：x41能整除g(x)。2．（14分）设A是nr的矩阵，并且秩（A）=r，B，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。3213（15分）求矩阵的最大的特征值，并且求A的属于的特征子空间的一组基。00A222361４(14分)设-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式A36A11E．n５(14

2、分)设A,B都是实数域R上的nn矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等．1欢迎下载。精品文档证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明：EAEB６．(14分)设A是nn实对称矩阵,证明：A25A7E是一个正定矩阵．n证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．７．(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设V,使An10,但是An=0,其中n>1．证明：{,A,A2,,An1}是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．2000年真题答案2欢迎下载。精品文档11、证明：(2)(1):2g(x)4h(x)

3、0h(x)g(x)（3）21将（3）带入（1）中，得到：(x41)f(x)xg(x)2x4+1与x互素，x41g(x)．注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。2、证明：ABAC,A(BC)0.A是nr的矩阵,R(A)r,A是列满秩的矩阵，即方程AX0只有零解．BC0,即BC3、解：EA224，20当2时，求出线性无关的特征向量为101，，＇，01，，＇2，012则L,构成的特征子空间,，是的特征子空间的一组基．1201204、解：-2,3,-1是33

4、矩阵Ａ的特征值，不妨设2,3,1,123则矩阵A36A11E对应的特征值为：15,20,16n123故A36A11E1520164800n15、利用构造法，设0，令HEB，AE1E0E1BEB，两边取行列式得AEAE10EAB11HEAB()nEAB．（１）111EBE0EBAB，两边取行列式得AEAE0E11HEBA()nEBA．（２）11由（１），（２）两式得()nEAB

5、＝()nEBA3欢迎下载。精品文档EABEBA．（３）上述等式是假设了0，但是（３）式两边均为的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（0），从而一定是恒等式．注：此题可扩展为Ａ是mn矩阵，Ｂ是nm矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：nEABmEBA，这mn个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式．536、设为Ａ的任意特征值，则A25A7E的特征值为257()20．n24故A25A7E是一个正定矩阵．n7、证明：An10,An=0.令llAlAn10．（１）01n1用A

6、n1左乘（１）式两边，得到l(An1)0．0由于An10，l0，带入（１）得lAlAn10．（２）01n1再用An2左乘（２）式两端，可得l0．1这样继续下去，可得到lll0．01n1,A,A2,,An1线性无关．A(,A,A2,,An1)＝(,A,A2,,An1)0000．1000010000100000Ａ在此基下的矩阵为，100001000010可见,R(A)n1,dimkerAn(n1)1即A的核的维数为1．2001年真

7、题4欢迎下载。精品文档5欢迎下载。精品文档2002年真题A11111nnAXB1．（15分）设，123n1n都是矩阵。解矩阵方程。01111012n2n100111001n3n2B000110001200001000012．（20分）设143，A是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵C，使得C1AC是一个对角矩阵。