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1、1姓名学号(高等代数习题册)第六章习题册1.检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R上的线性空间?(a)集合{()[]deg()}fxRx∈
2、fn=关于多项式的加法和数乘.T(b)集合{(A∈
3、MRAA)}=关于矩阵的加法和数乘.n∞(c)集合{{}x
4、∈xR}关于数列的加法和数乘.nn=0n2.设V是数域F上的线性空间,证明kk(αβ−)=−αβk,这里αβ,∈,∈.VkF2姓名学号(高等代数习题册)3.下述集合是否是M()R的子空间nT(a){VAMRAA=∈()
5、=−}n(b)Vf=
6、∈,{()()[]}AfxRx这里AMR∈()是一个固定方阵.n4.叙述并证明
7、线性空间V的子空间W与W的并WW∪仍为V的子空间的充分必要条件.12125.设S与S是线性空间V的两个非空子集,证明:12(a)当SS⊆时,SpanS()⊆SpanS().1212(b)SpanS()(∪S=+SpanS)(SpanS).1212(c)SpanS()(∩∩S⊆SpanS)(SpanS).12123姓名学号(高等代数习题册)6.如果f,,ff是实数域上一元多项式全体所成的线性空间R[]x中三个互素的多项式,但其中任意两个123都不互素,那么它们线性无关.试证之.7.设S是数域F上线性空间V的一个线性无关子集,α是V中一个向量,α∉S,则S∪{α}线性相关充分
8、必要条件α∈SpanS().8.(a)证明{
9、EEij+≤()}是M()F中全体对称矩阵组成的子空间的一个基.ijjin⎛⎞010⎜⎟(b).求M()F的子空间{()()fAfxFx
10、∈[]}的一个基和维数,这里A=0013⎜⎟⎜⎟000⎝⎠⎛⎞12101⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟111129.在R4中,求向量ξ在基(εεεε,,,)下的坐标,其中εεεεξ=,=,=,=,=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟12341234⎜⎟03013⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠11014⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠4姓名学号(高等代数习题册)10.求一个非零向量ξ,使
11、得它在基(εεεε,,,)下的坐标和它在基(ηηηη,,,)下的坐标相同,这里12341234⎛⎞2010⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−1121εεεε,,,与第9题相同,ηηηη=,=,⎜⎟⎜⎟=,=⎜⎟⎜⎟12341234⎜⎟2211⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠2111⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞2111⎛⎞⎛⎞−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟121111.在R4中,求由向量αααα=,=,=,=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟所张成的子空间的一个基与维数1234⎜⎟3031⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠1101⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞1111⎛⎞−⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−1131
12、⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟11461111−12.设αααα=,=,=,=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟,ββββ=,⎜⎟=,⎜⎟=,⎜⎟=⎜⎟12341234⎜⎟−−−−1135⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−1111⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠−1122⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠5131⎝⎠⎝⎠⎝⎠W=,Span{αααα,,},W=,Span{ββββ,,},请分别求WW+和WW∩的一个基112342123412125姓名学号(高等代数习题册)13.设Vaa=
13、{()=01,≤ijn≤≤=
14、},Vaaai{()=−,1≤,jn≤}
15、是矩阵空间M()R的两个子空间,12ijnn××ijijnnijjin证明VV≅123323214.设gxxgxxxgxxx=−+222,=−−+33222,=+−,是Fx[]的子空间V一个基,123332f=++,=−+,=+xxfxxfxx2122.请问f,ff,中哪些是属于V,哪些是不属于V,如果属于请给123123出它在基()ggg,,下的坐标.123415.R中,求由基(αααα,,,)到基(ββββ,,,)的过渡矩阵,并求向量ξ在指定基(αααα,,,)下的坐123412341234标.其中α=,,,,(1111)α=,,−,−,(1111)α=(1111),
16、−,,−,α=(1111),−,−,;β=,,,,(1101)β=(2131),,,,123412β=,,,,(1100)β=,,−,−.(0111)ξ=,,,−(1001).346姓名学号(高等代数习题册)16.设()AAA,,和()B,,BB是矩阵空间M()R的子空间V的两个基,其中1231232⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞100111450321AAABBB=,⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=,=,=,=,=123123⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠11−−1000−11−−3112−求(a)基()AAA,,到()B,,BB的过渡矩阵.
