856高等代数考研真题答案08

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1、河南科技大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题答案及评分标准科目代码：856科目名称：高等代数一、（15分）计算下列各题：1、（5分）已知阶行列式的第行元素分别为，第行元素对应的余子式依次是，求的值。2、（5分）已知矩阵满足关系，其中，求矩阵。3、（5分）设为阶方阵的伴随矩阵，=，计算行列式。解：1、因为，这里和分别是第行第列处的元素和该元素的代数余子式，所以有，可得。2、因为，所以，，3、====。第9页（共9页）二、（15分）计算阶行列式：。（注释：该行列式主对角线上元素都是，第一行和第一列除去第一个位置的元素是外，其余的都是，行列式中其余的元素都是。要求写出解题步

2、骤，也可以用语言叙述）。解（法一）：当时，再把第列的倍加到第1列（），就把化成了上三角行列式，当时，显然有。所以总有。（法二）：把第2行的（-1）倍分别加到第行，得再按第一列展开，得第9页（共9页）。三、（30分）证明下列各题1、（10分）如果，那么。2、（10分）为阶方阵，如果，则：秩秩=，其中是阶单位矩阵。3、（10分）是线性空间上的可逆线性变换，则的特征值一定不为。解：1、令是和的任一个公因式，则整除和之一，比如说整除，那么也整除，这也就说明是和的公因式，由，可知。2、由于，所以，所以秩秩，又因为，所以秩秩秩，而秩秩，所以有秩秩=。3、设向量是线性变换的关于特征值的特征

3、向量，则，用线性变换的逆变换作用上面式子的两端，则有，由于特征向量，所以。第9页（共9页）四、（15分）设4元齐次线性方程组为，又已知某4元齐次线性方程组的通解为：。（1）（5分）求方程组的基础解系；（2）（10分）问方程组与是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。若没有，则说明理由。解：（1）把方程组的系数矩阵化成简化行阶梯形，求得线性无关的两个解向量为：，则为方程组方程组的基础解系。（2）（解法一）：方程组的通解中满足方程组的解既是和的公共解，将的通解代入方程组，得，解得，故当时，向量第9页（共9页）满足方程组，它当然也是方程组的解，故方程组与有非零公共解，。（解

4、法二）：为确定方程组与的非零公共解，也可以令与的通解相等，即令：，得到齐次线性方程组：，解得，，由此得到方程组与的非零公共解为：，五、（20分）设实二次型通过正交线性变换化成标准形，求常数的值及所用的正交线性变换矩阵。解：实二次型以及标准形所对应的矩阵分别为第9页（共9页），，由于上面两个矩阵相似，所以主对角线上的元素之和相等，得到，因为，所以得到。求对应的特征向量，解方程组，得到方程组的两个正交的解为，单位化，求对应的特征向量，解方程组，得到方程组的解为，单位化。第9页（共9页）则所用的正交变换矩阵为。六、（15分）符号表示由向量生成的子空间。设有子空间，。（1）（5分）将

5、和用符号的形式表示出来；（2）（10分）求子空间和的维数和一组基。解：（1）。解线性齐次方程组得到子空间的基础解系统：，同样道理可以得到子空间的基础解系统：，所以，。（2）。显然可以看出，子空间和的维数都是3，矩阵经过行初等变换后可以得到：第9页（共9页），所以可以看出向量是的一组基，从而的维数是4。由公式：维维维维，可知：维2，解方程组可以得到的一组基：。七、（10分）列向量和是空间的两组基，线性变换在和下的矩阵分别为和，证明：和是相似的.证明：设可逆矩阵是基到基的过度矩阵，即：，因为，，所以根据同一线性变换在同一组基下的矩阵是惟一的，可以得到，也即矩阵和是相似的。八、（1

6、5分）如果向量可以由向量组线性表出，证明：表示方法是惟一的充分必要条件是向量组线性无关的。证明：（必要性）设由向量组线性表出且表示方法惟一为：第9页（共9页），设，则有，由于表示方法惟一，所以可以得到：，故线性无关。（充分性）假设有两种表示方法：和，上面两式相减得到：，因为线性无关，所以有说明表示方法惟一。九、（15分）设是阶实对称矩阵且正定，为实矩阵，为的转置矩阵，证明为正定矩阵的充分必要条件是的秩。解：（必要性）因为为正定矩阵，所以对任意的列向量，有，即，于是。因此，方程只有零解，从而。（充分性）由于，故为实对称矩阵。如果，则线性方程组方程只有零解，从而对任意的维实列向量

7、，有。，又是正定矩阵，所以对于有，于是当时，。故为正定矩阵。第9页（共9页）