2010高等代数考研真题.856答案

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1、2010年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码：856考试科目名称：高等代数一.（40分）答：1.(D)2.(D)3.(A)4.(D)5.(B)6.(C)7.(B)8.(D)9.(D)10.(C)二.（20分）证明下列命题：(1).如果多项式不全为零，证明：与互素。(2).证明：是的重根的充分必要条件是而.答：(1).证：存在多项式,使.(4分)因而.(7分)由定理3,(10分)(2).必要性：设是的重根。那么是的重根，……，是的1重根，是的0重根，即不是的根，（3分）所以而.（5分）充分性：设而.设是的重根。由必要性的

2、证明而.从而.(10分)三.（15分）已知行列式.求，其中是元素的代数余子式。第4页（共4页）解：考虑行列式，按它的第三列展开。（5分）由于和除了第三列外均相同，故，（10分）而计算可得.所以.（15分）四．（20分）计算阶行列式.解：按第一列展开。得：（10分）（20分）五.（10分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为.解：考虑以为解的方程，那么.（3分）把它看成的方程。得到基础解系.（7分）由此得到方程组第4页（共4页）它以为基础解系。（10分）六.（15分）设数域上的3维空间的线性变换在基下的矩阵为.求线性变换在基下

3、的矩阵。解：线性变换在基下的矩阵为（5分）由于（10分）所以（15分）七.（15分）设是数域上的矩阵全体组成的线性空间。.是的变换，定义如下：.证明是的线性变换。解：设,,（8分）所以是的线性变换。（15分）八.（15分）设是维欧氏空间的一个对称变换．是的任意一个标准正交基．是关于这个基的矩阵．那么是实对称矩阵．解：我们有（5分）第4页（共4页）因为，是对称变换，而是一个标准正交基，所以..………..………..………....…（10分）.所以是实对称矩阵．..………..………..………....…..………..………..……....…

4、（15分）第4页（共4页）