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1、17高等代数1717高等代数081717高等代数07化二次型为标准型,并给出所用的非退化线性替换.一，求三阶矩阵的Jordan标准型.二，设且长度为2,矩阵求的特征多项式.三，设是阶反对称矩阵,为单位矩阵.证明：可逆设,求证是正交阵.1717高等代数一，设是3阶对称矩阵,且的各行元素之和都是3,向量是的解,求矩阵的特征值,特征向量,求正交阵和矩阵使得二，设是一个数域,是中次数大于0的多项式,证明：如果对于任意的,,若有,那么是不可约多项式.三，设欧氏空间中有证明：如果,那么设是维欧氏空间中的一个对称变换,则.苏州大学2007年硕士研究生入学考
2、试《高等代数》试题解答1.解所给二次型的矩阵为其特征多项式为.故特征值为.,解对应的特征方程得,.,解对应的特征方程得.以作为列向量作成矩阵.则可逆,且为对角阵.这时做非退化线性替换得.■2.解,将其对角化为.故的若当标准形为.■3.解的特征多项式为1717高等代数.■4.证⑴是反对称实矩阵,故其特征值为零或纯虚数.其实,假定是的特征值,是相应的特征向量.则,又,故,这说明是零或纯虚数.由此得,因而可逆.⑵由⑴知可逆,这说明有意义.而,因此.故是正交矩阵.■5.解依题意有因而其特征多项式为.故特征值为.⑴,解特征方程得,.特征向量为.⑵,解特
3、征方程得.特征向量为.以上.把向量正交并单位化得,.把向量单位化得.以作为列向量作成矩阵,则为正交矩阵且.,则满足.■6.证假设可约,不妨设,其中.这时显然有,但不可能有或者.这与题设矛盾,故假设错误.因而不可约.■1717高等代数7.证依题显然有,假设,则.于是,这说明可被线性表出.记给上式两边同时计算得,于是,与题设矛盾,故假设错误,原命题成立.■8.证对于任意的及任意的,有，于是有,因而.又,于是,故.■06一，用正交线性替换将实三元二次型变成标准形，并写出所用的非退化线性变换。二、设。A是否相似于一个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵C
4、，使得为对角阵，且写出此对角阵。三、设是一个整系数多项式，证明：如果是一个奇数，则不能被x-1整除，也不能被x+1整除。四、设A是一个矩阵，证明：如果A的秩等于的秩，则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组X=0同解。五、设V是有理数域Q上的线性空间，id是V的恒等变换。又设是V的一个线性变换，证明：如果，则没有特征值。六、设A是实对称矩阵，b是A的最大的特征值。证明：对任意n维非零的实列向量，都有。七、设V=是F上全体次数<5的多项式及零多项式构成的线性空间。，定义映射，其中，=0或a)证明映射是V的一个线性变换。b)求在基{1，x,,,}
5、下的矩阵。8．设A,B都是矩阵，并且AB=BA。证明：如果A,B都相似于对角矩阵，则A+B也相似于对角矩阵。051、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么?2、（20分）设A=。v是的A最大的特征值。求A的属于v的特征子空间的基。1717高等代数3、（20分）设f（x）是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f（m）和f（n）都是奇数，则f（x）没有整数根。4、（20分）设A是一个2n×2n的矩阵。证明：如果对于任意的2n×2矩
6、阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。6、（20分）设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价：（1）AB=O,O为零矩阵（2）秩(A)+秩(B)=n7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明：（1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。（2）存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。8、（10分）
7、设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵（m>n）,且AC=CB,C的秩为r.证明:A和B至少有r个相同的特征值。注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。1717高等代数1717高等代数1717高等代数1717高等代数1717高等代数1717高等代数1717高等代数03７．设是一个数域，是上维的线性空间，是的一个线性变换，记．证明：，则是的核与的直和．８．设是上的连续函数．称在上线性相关，若存在不全为零的常数1717高等代数，使得．证明：在上线性相关的充要条件是其中是的行列式．021．（15分）设，都是矩阵。解矩阵方程。2．（20分）设
8、，是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵，使得是一个对角矩阵。3．（10分）设都是非负整数。设。证明：整除。4．（10分）设，都是矩阵，是矩阵，并且的秩
