专题九高考解题中的数学思想和解题策略（二）

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1、专题九高考解题中的数学思想和解题策略(二)I高考定位I1・分类讨论思想的考查重点为含有参数的函数性质问题、与等比数列的前斤项和有关的计算推证问题、直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等，在选择、填空、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法.2.等价转换思想的应用在高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想.II应对策略I(1)分类与整合思想实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.利用好分类与整合思想可以优化解题思路，降低问题难度.复习中要养成分类与整合的习惯，常见的分类情形有：概念分类型，运算需要型，参数变化

2、型，图形变动型.(2)转化与化归思想是高中数学学习中最基本、最重要的思想方法，它无处不在.比如:在解析几何中，通过建立坐标系将几何问题划归为代数问题.必备知识分类与整合思想在解菜些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的.当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究.这电集屮体现的是由人化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法，其研究的基木方向是“分”，但分类解决问题之后

3、，还必须把它们整合在一起，这种“合一分一合”的解决问题的思想，就是分类与•整合思想.化归与转化思想在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结果，由此将问题化难为易，化繁为简，化人为小，各个击破，达到最终解决问题的口的，这种解决问题的思想就是化归与转化思想.必备方法1.分类讨论的几种情况(1)由数学的概念、图形的位置等引发的分类讨论：数学中的概念有些就是分类的，如绝对值的概念；(2)由数学的定理、法则、公式等引发的分类讨论：一些数学定理和公式是分类的，如等比数列的求和公式等；(3)由参数变化引发

4、的分类讨论：当要解决的问题中涉及参数时，由于参数在不同范围内取值时，问题的发展方向不同，这就要把参数划分的几个部分分类解决；(1)问题的具体情况引发的分类讨论：有些数学问题本身就要分情况解决，如概率计算中要根据要求，分类求出基本事件的个数；(2)较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决.1.化归转化思想的几种情况(1)化为已知：当所要解决的问题和我们已经掌握的问题有关系时，把所要解决的问题化为已知问题；(2)化难为易：化难为易是解决数学问题的基本思想，当我们遇到的问题是崭新的，解决起来困难时，就要把这个

5、问题化为我们熟悉的问题，熟悉的问题我们有解决的方法，就是容易的问题，这是化难为易的一个方面；⑶化繁为简：在一些问题中，已知条件或求解结论比较繁，这时就可以通过化简这些较繁的已知或者结论为简单的情况，再解决问题，有时把问题中的某个部分看做一个整体,进行换元，这也是化繁为简的转化思想；(4)化大为小：在解答综合性试题时，一个问题往往是由几个问题组成的，整个问题的结论，是通过这一系列的小问题得出的，这种情况下，就可以把所要解决的问题转化为几个小问题进行解决.由数学概念、法则.公式而引起的分类讨论数学中的很多概念都是通过分类定义

6、的，数学中的一些定理、公式、法则往往有一些严格的限制条件，故高考常常在这些知识点中命题.Clog2X，X>0,例1(2010-天津)设函数f(x)=1若则实数。的取值范围是()lo迈(一X),x<0,A.(-l,0)U(0,l)B.(一8,-1)U(1,4-oo)C.(-hO)U(l,+8)D.(—I-1)U(O,1)［审题视点］分q>0,Q<0讨论求解.C当Q>0时，由f(a)>f(-a),得log?。>lo#a>即log2a>log2占,即a〉*,解得a>1;当a<0时，由ja)>一q),得Iog^(-a)>lo

7、g2(一a),即1og2(*)>log2(-a),则-*〉-⑴解得-WO.所以ae(-1,0)U(l,+8).]方法锦有许多核心的数学概念是分类的，比如：直线斜率、指数函数、对数函数等,与这样的数学概念有关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完整地解决问题.【突破训练1】若函数f(x)=dx-x~a(a>0且oHl)有两个零点，则实数a的収值范围是.解析则函数f(x)=flv-x-a(a>0且aHl)有两个零点，就是函数,y=aa>0且aHl)的图象与函数y=x+a的图象有两个交点.由图象可知，当0

8、，两函数只有一个交点，不符合；当g>1时，因为函数y=dXa>l)的图象过点(0,1),而直线y=x+o的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数d的取值范围是(1,+<-).由参数的变化而引起的分类讨论由于参数的取值不同会导致所得结果不同，所以某些含有参数的问题如函数性质的运用、求最值