高考解题中的数学思想

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1、第三篇　阅读专题【高考考情解读】数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括,数学思想方法较之数学知识具有更高的层次,具有理性的地位,它是一种数学意识,属于思维和能力的范畴,它是数学知识的精髓,是知识转化为能力的桥梁.数学思想方法是使复杂问题简单化,抽象问题具体化,变抽象思维为形象思维的过程,有助于把握数学问题的本质,它是数学的规律性与灵活性的有机结合.纵观近几年的高考试题,都加大了对数学思想方法的考查,把对数学思想方法的考查寓于对各部分知识的考查之中,以知识为载体,着重考查能力与方法的题目很常见.预测2014年数

2、学高考中,还会有较多的题目以数学知识为背景,考查数学思想方法,对数学思想方法的考查不会削弱,只会更加鲜明,更加重视.【函数与方程的思想】1.函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.2.方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,从而建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转

3、化问题,使问题获得解决.方程的思想是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.3.涉及的几个问题:(1)函数和方程是密切相关的,对于函数y=f(x),当y=0时,就转化为方程f(x)=0,也可以把函数式y=f(x)看作二元方程y-f(x)=0,函数问题(例如求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数问题来求解,如解方程f(x)=0,就是求函数y=f(x)的零点.(2)函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x)

4、,当y>0时,就转化为不等式f(x)>0,借助函数图象与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式.(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问题十分重要.(4)解析几何中的许多问题,常需要通过解二元方程组才能解决,涉及二次方程与二次函数的有关理论.(5)立体几何中有关线段、面积、体积的计算,也常需要运用列方程或者建立函数表达式的方法加以解决.热点一:函数与方程思想在求最值或参数范围中的应用在遇到有关求范围、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题时,常通过构造函数,

5、借助相关初等函数的性质求解.　已知实数a,b,c,有a>b>c,a+b+c=1,a2+b2+c2=1,求a+b与a2+b2的范围.【解析】a+b+c=1⇒a+b=1-c.a2+b2+c2=1⇒(a+b)2-2ab+c2-1=0⇒(1-c)2-2ab+c2-1=0⇒ab=c2-c,且a+b=1-c.构造一个一元二次方程x2-(1-c)x+c2-c=0,a,b是该方程的两个不相等的根,且两根都大于c,令f(x)=x2-(1-c)x+c2-c,则由图象与x轴有两个交点且都在(c,+∞)内,知∴-

6、<1-c2<1,即a+b∈(1,),a2+b2∈(,1).【点评】(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组),然后由方程(组)求得.(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题,解决这类问题一般有两种途径:其一,充分挖掘题设条件中的不等关系,构建以待求字母为元的不等式(组)求解;其二,充分利用题设中的等量关系,将待求参数表示成其他变量的函数,然后,应用函数知识求值域.(3)当问题中出现两数积与这两数和时,是构建一元二次方程的明显信息,构造方

7、程后再利用方程知识可巧妙解决问题.(4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决.热点二:利用函数与方程相互转化的观点解决函数、方程问题在解决函数、方程问题时,我们经常利用两者的联系进行转化.若将变量间的等量关系看成函数关系,则可以将等量关系式转化成函数,这时妙用函数的有关性质(值域、与坐标轴交点情形等)就可解决问题;若将等量关系式看成关于某个未知量的方程,则利用解方程或考虑根的情形可求得变量.　已知函数f(

8、x)=lnx-.(1)当b=1时,若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;(2)当a>0且b=0时,求证:函数f(x)存在唯一零点的充要条件是a=1;(3)设m,n∈(0,+∞),且m≠n,求证:<.【解析】(1)当b=1时,f(x)=lnx-,则f'(x)=-=.因为f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,所以f'(x)≥0在(0,+∞