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1、高屮以几何图形为载体的排列、组合问题的解题策略浙江省象山县第二中学315731吕增锋排列、组合因其内容独特、应用性概念强，并充满思辨性和解法多样性，常常令广大学生望而生畏，尤其是以儿何图形为载体的排列、组合题，如：求直线的交点数、正方体中异而直线的对数等。这类题目也是近年来高考的热点问题，对于这样的问题，学生更加感到无从下手。笔者在教学实践中总结了关于这一类问题的三大解题策略，具有一定的实用性和有效性，可供教师复习总结和学生解题吋参考。策略一正面、反面先选择,分类、分步要准确对于这类排列组合问题，首先考虑的是按照题冃的要求直接求解还是采取间接的
2、方法求解，选择的标准是哪种方法更有利于题目的解决。解决排列组合问题的精髄是分类和分步，准确的分类和分步可以使复杂的问题简单化，可以避免重复和遗漏。例1.如图1所示，以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A.70个B.64个C.58个D.52个1.正面解法解析，取4个不共面的点构成一个四面体，正方体的8个顶点被分为上下两组，因此对四个点的分步情况作分类：（1）上面4个点中取1个点，下面4个点中取3个点，有C：C；种;（2）上面4个点中取2个点，下而4个点中取2个点，因为上而取2个点情况直接影响下面2个点的取法,因此对上面2个点的位置进行分类：I.如
3、果上面取相邻的两点，有4种取法，下面对应的有4种取法，有16种；II.如果上面取不相邻的两点，有2种取法，下面相应有5种取法，有10种；（3）上面4个点中取3个点，下面4个点中取1个点，有C；C：种；因此共有2C；C：+16+10=58个2.反面解法解析8个点任取4个点共有C；种取法，除去4个点共面的情况即可。4个点在正方体的表面有6种情况,4个点在正方体的对角面也有6种情况，因此4个点共面的情况共有12种，所以共可构成四面体有C；-12=58个。由此可见，对于这道题目从反面的角度去考虑问题比从正面入手更为快捷，而许多这一类的排列组合题往往都是
4、从反面的角度去考虑的。D例2.（1997全国高考题）四而体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A.150种B.147C.144种D.141种解析如图2所示，如果按照题目的要求直接考虑如何取出4个不共面的点,显然比较繁琐；但如果考虑取出4个共面的点就显然要容易的多。因此对于这道题目我们采取间接的方法求解，即10个点中任取4个点的方法数减去取出4个点共面的情况就是符合条件的取法。我们要对4点共面的情况进行分类，根据共面的条件：（1）这4个点都在同一个面上显然符合要求，有4C：种情况；（2）由中位线构成的平行四边形
5、的4个顶点共面，有3种情况；（3）任取一条棱上的3个点及对棱的中点，这4点也共面，有6种情况。因此符合要求的取法有^-4^-3-6=141（种）策略二特征条件是关键，重复遗漏要注意要解决几何型排列组合问题，挖掘满足题目的隐含条件就成为关键。比如“直线ox+by+c=0过原点”,则“c=0”就是其屮最关键的隐含条件，我们把这样的条件称作特征条件。例3.（2001全国高考题）圆周上有2n个等分点（n>l）,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为分析如何保证収出的3个点刚好能构成直角三角形是解决问题的关键。直角三角形的一个明显的特征是“斜边是外接圆的
6、直径”，这个特征就是解决问题的特征条件。因此3个点中有两个点的连线刚好过圆心就能构成直角三角形。先在取2个过圆心点有n种取法，接下去从剩下的2n-2个点任取1个点共有2n-2种取法，因此共有2n（n-l）个直角三角形。例4.（1999全国高中数学联赛）己知直线ax+by+c=0中的Q、b、c是取自集合｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。解析“a,b异号”是直线的倾斜角为锐角特征条件，确定a、b、c后会11!现重复的直线，而c是否为0出现重复直线的情况不一样，因此要对c是否
7、为0进行分类。（1）若C=0,Cl、〃各有3种取法，排除2个重复（3x-3），=0,2x-2y=0,x—y=0），故有3X3・2二7（条）。（2）若CHO,d有3种取法，b有3种取法，而同时C还有4种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3X3X4=36条，从而符合要求的直线共有7+36=43条。在解题过程中，会出现方法数的重复或遗漏，对于这个问题我们要特别注意。策略三对应关系巧运用，事半功倍在眼前儿何型排列组合问题的研究对象是点、线、面、体，常握它们Z间的对应关系对解决问题会起到事半功倍的效果。例5.如图3所示，在两条线段上分别有4个
8、点和3个点，在这两条线段上分別取1点构成的线段屮最多有儿个交卢（交卢不能落在两条线段上）？图3解析'我们i知道两条相交的直线确定一个交点，但对于线段来
