高三数学总复习教案高考题中反函数问题的求解策略

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1、高三数学总复习教案：高考题中反函数问题的求解策略转换是中学教学思想的糟髓之一。充分利用原函数y=f(x)与反函数y=f1(x)之间的关系，把有关反函数的问题转换成其相应的原函数来处理，是化繁为简，化生为熟这种解题思维的具体表现。下面以高考题为例；说明儿种转换策略。一、利用反函数与原函数对应法则具有互逆性来转化问题性质：f(a)二bOf1(b)二a。例1.设f(x)=4x-2x+1(x>0),则和(0)=。分析:由f(a)=b<^f1(b)=a,故设f(a)=O,BP4a-2a+1=0=>a=1,即f(1)=0,/.f1(0)=1o例2.若函数y

2、=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab#O,则g(b)等于()。A.aB.a1C.bD.b_1分析：山题对知，对应法则f与g互逆故f(a)=b,f1(b)=a,即f1(b)=g(b)=a0因此答案选(A)。二、利用反函数与原函数的定义域与值域具有互逆性来转化问题性质：函数y=f(x)的定义域为A,值域为B,则其反函数y=f1(x)的定义域为B,值域为Ay■心P(xeR且乙■0例3・已知函数xT,那么它的反函数为()。A.y■*5(xeR^.x肖Dx-1B.C.D.分析:破口。经观察，I丿L

3、个选项中所给函数的定义域均不相同，所以可

4、考虑以反函数立义域的确立为突6jt*56(jrw■"zx-lx-ljr-l・・・原函数的值域即反函数的定义域为(fOUCAT因此答案选Bo三、利用反函数与原函数的奇偶性、单调性具有一致性来转化问题性质：奇函数的反函数是奇函数；一般的偶函数不具冇反函数。在相应的区间上，增函数的反函数是增函数；减函数的反函数是减函数。y例4.函数的反函数()°A、是奇函数，它在(0,+切上是减函数B、是偶函数，它在(0,+切上是减函数C、是奇函数，它在(0,+«>)上是增函数D、是偶函数，它在(0,+切上是增函数分析：・・・f(x)+f(・x)22・・・原函数f(

5、x)是奇函数。又结合选择题的特征，由特殊值法验证:可知:是奇函数且是增函数，故其反函数在(0+-)上是单调递增的奇函数。因此答案选(C)。%1.利用反函数与原函数的图象具有对称性来转化问题性质：原朗数的图象与反换数的图象关于直线y=x对称。TIk1A1——1、fl1100-17Tx01-0-1ABCD例5.设函数则函数y=f1(x)的图象是()。分析:由厂一的7(7"£0)得《+0)2=1(.仁xsO),其图象如A所示,根据y=f(x)与y=f1(x)的图象关于直线y二x对称，所以应选Bo例6.已知直线h和I?夹角的平分线％y=x,如果h的方

6、程是ax+by+c二0(ab>0),那么b的方程是()A.bx+ay+c=OB.ax-by+c=OC.bx+ay-c=OD.bx-ay+c=O分析：直线町以和一次函数的图象建立联系。把h的方程整理成y=f(x)的形式，求h关于y=x对称的直线I2的方程吋，可看作求y=f(x)的反函数的解析式。美千3*A“)P(b.d)由点尸咖：,可轻松地处理上述问题，只需将h方程中的x,y互换则得到12的方程为：ay+bx+c=Oo因此答案选(A)。综上，高考题中对于反函数知识点的考查，多集中于求反函数的解析式，定义域、值域、函数值、图象、单-调性及奇偶性。处

7、理这类问题时，灵活运用上述四种转化策略，将反函数y=f1(x)的问题转化成原函数y=f(x)的相关问题后，來寻求简捷的解法，切记不要轻易求出反函数的解析式。