1.2充分条件与必要条件(人教版)

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1、§1.2充分条件与必要条件X同学们，当某一天你和你妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”。那么大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“这是我的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足以保证你是她的孩子。那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件。【实例引入】例:判断下列命题的真假。（1）若x=2，则x2-5x+6=0。（2）若ab=0,则a=0。真命题假命题【问题探究】如果命题“若p则q”为真，则记作如果命题“若p则q”为假，

2、则记作定义：如果命题“若p，则q”为真命题,即pq,那么我们就说p是q的充分条件；q是p的必要条件．【定义得出】①充分性：条件是充分的，也就是说条件是充足的，足够的，足以保证的。符合“若p则q”为真（pq）的形式,即“有之必成立”。②必要性：必要就是必须的，必不可少的。符合“若非q则非p”为真（非q非p）的形式，即“无之必不成立”。注：③p是q的充分条件与q是p的必要条件是完全等价的，它们是同一个逻辑关系“pq”的不同表达方法。例1，下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？（1）若x=1，则x2–

3、4x+3=0；（2）若f（x）=x，则f（x）为增函数；（3）若x为无理数，则x2为无理数解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的p是q的充分条件.【典例演练】练习1：(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；(2)若x>5，则x>10。解：命题（1）是真命题，命题（2）是假命题所以命题（1）中的p是q的充分条件。例2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？(1)若x=y，则x2=y2。(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等.(3)若a>b，则ac>bc。解

4、：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以命题（1）（2）中的q是p的必要条件。练习2下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？(1)若a+5是无理数，则a是无理数。(2)若（x-a）（x-b）=0，则x=a。解：命题（1）（2）的逆命题都是真命题，所以命题（1）（2）中的p是q的必要条件。分析：注意这里考虑的是命题中的p是q的必要条件。所以应该分析下列命题的逆命题的真假性。练习3，判断下列命题的真假：（1）x=2是x2–4x+4=0的必要条件；（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线

5、的必要条件；（3）sinA=sinB是A=B的充分条件；（4）ab≠0是a≠0的充分条件。命题（2）为真命题；命题（3）为假命题；命题（4）为真命题。命题（1）为真命题；思考分析:已知p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，那么p是q的什么条件？q又是p的什么条件?pq,所以p是q的充分条件,q是p的必要条件.qp,所以q是p的充分条件,p是q的必要条件.推进新课:称:p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.p与q互为充要条件(也可以说成”p与q等价”)即学即练:下列各题

6、中，哪些p是q的充要条件？(1)p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；(2)p:x＞0,y＞0,q:xy＞0；(3)p:a＞b,q:a+c＞b+c；(4)p:x＞5,,q:x＞10;(5)p:a＞b,q:a2＞b2.命题(1)和(3)中，pq，故p是q的充要条件；命题(2)中，pq,但qp，故p不是q的充要条件；命题(4)中，pq，但qp，故p不是q的充要条件；命题(5)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件；解:推进新课:从逻辑推理关系看充分条件、必要条件:(1)若pq,qp,则p是q的.

7、pq充分不必要条件(2)若pq,qp,则p是q的.必要不充分条件(3)若pq,qp,则p是q的.充分必要条件(4)若pq,qp,则p是q的.既不充分也不必要条件即学即练:必要不充分条件充分不必要条件充要条件充要条件推进新课:从集合与集合的关系看充分条件、必要条件.1)若AB且BA，则甲是乙的.充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件一般情况下若条件甲为x∈Ａ，条件乙为x∈Ｂ4)若A=B，则甲是乙的充要条件.2)若AB且BA，则甲是乙的.3)若AB且BA，则甲是乙的.AB(1)BA(2)分析:设:p:d=r,q:直线L与⊙O

8、相切.要证p是q的充要条件,只需分别证明充分性和必要性即可.例4已知:⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d.求证:d=r是直线L与⊙O相切的充要条件.应用示例:知能训练:变.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件