第2章 多自由度系统的振动

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1、绿色表示概念红色表示不懂得兰色表示标住粉色表示方法及解释第2章多自由度系统的振动先介绍二自由度系统，然后扩展到多自由度系统。内容：动力学系统建模；固有频率和主振型；受迫振动分析；动力减振器；模态分析方法；2.1多自由度系统的自由振动2.1.1振动微分方程的建立振动微分方程的建立，就是在时域分析中建立系统的运动微分方程。这种运动方程主要有四种推导方法：（1）牛顿运动方程（或达朗伯尔原理）。根据各质量块之间的平衡条件直接建立分析模型，是一种直接法。（2）哈密尔顿原理。它是分析力学中变分原理，可以从一切可能发生的运动中确定真实发生的运动。只需建立弹性体的能量表达式（动能、势能和虚功）

2、，就可以建立振动微分方程，并得到力的边界条件。从数学方法上看来，作为近似求解，可将泛函极值问题化为多元函数的极值问题，应用变分方法可以得出振动问题的一些近似解法。从力学上来解释，这类近似解法就是将连续系统化为离散系统的方法之一。关于连续体的振动在第5章中讨论。图2.1.1-1（3）拉格朗日运动方程。拉格朗日方程的一般形式既使用于保守系统又使用于非保守系统，所以也可以根据其一般形式推导运动方程。（4）影响系数法。根据结构力学的原理提出的。对于机械结构系统也很使用。2-30直接法使用于直接处理加速度、力等向量。简单系统用用第一种方法较好。哈密尔顿原理与拉格朗日运动方程是根据能量原理

3、推导，采用功、能等标量。1.牛顿运动方程（或达朗伯尔原理）这是大家都熟悉的方法。为了与后续的模态分析法比较，这里还是举已例。图2.1.1-1所示为一在不平的路面上行驶的车辆的二自由度系统。设刚性杆的质量为m，两端的刚度分别为，杆绕质心G点的转动惯量为J。假设作用在质心G点的激励力为简谐力F和简谐转矩T,则刚性杆不仅沿x方向振动，而且绕其质心扭转振动。现取刚性杆的广义坐标为和，其系统的振动微分方程(2.1.1-1)该式可写成其中质量矩阵,是对角矩阵；刚度矩阵，只是对称矩阵，静力参数和在两个方程中出现，称为静力参数耦合或弹性耦合；力列阵。2.拉格朗日运动方程在工程力学中，大家已熟悉

4、第二类拉格朗日方法：（理论力学的知识）式中为系统的动能，为系统的势能，为广义坐标，为非有势广义力。式中为外力在坐标方向的投影；为力的作用点坐标。对于图2.1.1-1系统，可以采用不同的广义坐标，来列出系统的振动微分方程。现在取C点（G点为质心）的直线位移为，转角为，并使。此时外力2-30和转矩作用在C点。利用拉格朗日方程，并代入系统的动能为系统的势能为故(a)同理，注意2-30故(b)将式(a)和(b)写成矩阵形式(2.1.1-2)3.影响系数法影响系数法分为刚度影响系数法和柔度影响系数法。在实际使用中，针对不同的系统结构，采用不同的方法。刚度影响系数法：图2.1.1-2图2.

5、1.1-2所示的三自由度弹簧质量系统。刚度影响系数是指：在系统的j点产生单位位移（即），而其余各点的位移均为零时，在系统的点所需要加的力。例如图2.1.1-2中即表示使质量产生单位位移（），而其余质量、的位移均为零（，）时，在质量上施加的力，即(k1和k2包含方向?)同理，表示当，而，时，在质量上施加的力，即如此类推，可以得到2-30可以发现这样一个规律：。由此可以减少计算工作量。下面用刚度影响系数来表示系统的运动方程。假定某一瞬时，质量、、的位移为、、，那么，这些位移在上引起的合力为(2.1.1-3)由牛顿定律，可写出的运动微分方程(2.1.1-4)同理，可得出、的运动微分方

6、程(动力学方程)(2.1.1-5)其中，称为质量矩阵，是一个对角矩阵，其对角元素为质量、、。称为刚度矩阵，是一个对称矩阵是因为得原故。柔度影响系数法：图2.1.1-3图2.1.1-3所示为一简支梁，具有弹性而其自重可以忽略。梁上有三个集中质量、、。对于这类问题，如果采用刚度影响系数法求2-30，其计算量相当复杂。为此引入柔度影响系数。柔度影响系数是指：在系统的j点作用一个单位力（即），而其余各点均无作用力（即）时，在系统的点产生的位移。在图2.1.1-3所示系统中，表示在质量上作用一个单位力，而质量、上无作用力（即）时，梁上处所产生得位移，这个位移可以按材料力学中得计算公式计算

7、，得其中——梁的材料的弹性模量；——梁的截面惯性矩。由于结构对称，。用同样的方法可以求出其它柔度影响系数。将它们排列起来，得可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即将上式代入动力学方程得小结：到底采用柔度影响系数法还是刚度影响系数法，应视实际问题而定。对于弹簧质量系统，应用刚度影响系数法较容易；而对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易。4.有限元法请参考《机械设计中的有限元法》，许尚贤，高等教育出版社，1992.7。2.1.2多自由度系统的固有频率与主振型对于质量块和组成的