用角平分线解题的基本图形

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1、用角平分线解题的基本图形利用角平分线解题时，常常见到以下三个基本图形。在图1上，过角平分线上任一点作角平分线的垂线，截出一个等腰三角形，它是由两个全等的直角三角形拼成的。在图2上，过角平分线上任意一点，作角的一边的平行线，则与角的另一边以及角平分线构成一个等腰三角形。在图3上，在三角形的一边或其延长线上，截取线段等于另一边得两个全等的三角形。以上图形，拓宽了“已知”与“未知”间的联系渠道，为寻求解题提供了更多思路，下面举中考题为例说明。例1如图4，在△ABC中，AC＜BC，从A向∠C的平分线引垂线，垂足为D

2、，E是AB的中点，连结ED。求证：(1988年济南中考题)证明如图4，延长AD交BC于F。∵∠ACD=∠BCD，CD⊥AF，∴△ADC≌△FDC。∴AD=FD，AC=FC。∴ED是△ABF的中位线。。例2如图5，△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分线，AB=5，AC=3。求：AD的长。(1993年徐州市中考题)解作DE∥AC交AB于E,则。∵AD平分∠BAC，∴EA=ED。∵∠BAC=120°，∴∠BAD=60°，∴EA=ED=AD。例3如图6，在△ABC中，∠A=60°，角平分线BE、CD

3、相交于O。(1)求∠DOE的度数；(2)求证DO=EO；(3)若BD=14，BC∶CE=3∶1，求BE的长。(1)解很容易求出∠DOE=120°。(2)证明由四边形内角和，得∠ADO+∠AEO=180°。在BC上截取BF=BD，连OF。∵BE平分∠ABC，BO=BO，∴△BDO≌△BFO。∴DO=FO，∠BFO=∠BDO=∠AEO。∴∠CEO=∠CFO。∵CD平分∠ACB，CO=CO，∴△CEO≌△CFO。∴DO=FO=EO。(3)解略。