万能解题模型(二)-与角平分线有关的基本模型.doc

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1、万能解题模型(二)　与角平分线有关的基本模型一、三角形中角平分线的夹角问题模型1　两内角平分线的夹角如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，则∠BGC与∠A之间的关系为：∠BGC＝90°＋∠A．解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．模型2　一个内角和一个外角平分线的夹角如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，BP与CP相交于点P，则∠P与∠A之间的关系为：∠P＝∠A．解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．模型3　两外角平分线的夹角如图，在△ABC中，BO，CO是△ABC的

2、外角平分线，则∠O与∠A之间的关系为：∠O＝90°－∠A．解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．　　　模型4　内角平分线和高线的夹角如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线(AE可能在AD的左侧或右侧)，则∠EAD＝

3、∠B－∠C

4、．1．(2019·大庆)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E.若∠A＝60°，则∠BEC＝(B)A．15°B．30°C．45°D．60°2．(2018·黄石)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BA

5、C＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝(A)A．75°B．80°C．85°D．90°3．(2018·深圳改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AE＝．4．如图，在△ABC中，∠A＝α，△ABC的两外角平分线交于点D1，∠CBD1的平分线与∠BCD1的平分线交于点D2，∠CBD2的平分线与∠BCD2的平分线交于点D3，则∠D3＝157.5°－α(用含α的代数式表示)．二、与角平分线有关的图形和辅助线作法模型1　角平分线＋平行线→等腰三角形常见模型有以下四种：解题通法：遇到角平分线及平行

6、线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．5．(2019·陕西)如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为(C)A．52°B．54°C．64°D．69°　　　6．(2018·淄博)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为(B)A．4B．6C．4D．87．(2019·安顺节选)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点．若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．解：结论：AB＝A

7、F＋CF.证明：延长AE交DF的延长线于点G.∵E是BC的中点，∴CE＝BE.∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G.又∵∠AEB＝∠GEC，BE＝CE，∴△AEB≌△GEC(AAS)．∴AB＝GC.∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG.∵∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G.∴FA＝FG.又∵CG＝CF＋FG，∴AB＝AF＋CF.模型2　利用角平分线，作辅助线构造全等三角形①过角平分线上的点作角两边的垂线如图1，BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，则OE＝OF，△BEO≌△BFO.图1　图2②过角平分线上任意一点作角平分线的垂线如图2，BO是∠ABC

8、的平分线，EF⊥BO，则△BEO≌△BFO.③采用截长补短法构造全等三角形图3如图3，在△ABC中，BC>BA，BO是∠ABC的平分线．(截长法)在BC上取线段BE＝BA，连接OE，则△BEO≌△BAO；(补短法)延长BA至点D，使BD＝BC，连接OD，则△BDO≌△BCO.解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段(截长或补短)构造全等三角形．8．(2019·陕西)如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为(A)A．2＋B.＋C．2＋D．39．(2

9、019·永州)已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝4．10．(2019·威海改编)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，且EC平分∠BED.连接BE.若AB＝6，则CD＝3．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC＋CD.证明：延长AC至点E，使AE＝AB，连接DE.∵AB＝AE，∠1＝∠2