对于几类导数题运用图象求解的探索

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1、对于几类导数题运用图象求解的探索对于导数题很多论文分别从不同的角度进行了研究和对于题型的归纳整理.由于近年内高考试卷压轴问题常常放在导数上,因为函数问题木身带有很强的抽象性，而且经常考查分类讨论的思想，所以学生们会经常出现分类标准选择有问题或者讨论时做不到不重不漏，从而导致最后问题不能顺利解决或者解答不完整.本文对于部分导数大题运用数形结合思想进行巧妙的大题小解，最大可能的解决学生面临的问题，着力提高学生的解题能力和培养学生的数学思想.一、性质露于形，巧解靠平移不妨我们先来看一道典型例题及英参考解答：例1已

2、知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1,当xe[O,+8)时，f(x)=aex.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最大的整数m(m>l),使得存在teR,只要Xe[l,m],就有f(x+t)Wex.(注：e为自然对数的底数)参考解答：(1)易得f(x)二ex,x20,e~x,x<0,即f(x)=e

3、x

4、.(2)因为任意xe[1,m],都有f(x+t)Wex,故f(1+t)We且f(m+t)Wem,当l+t±O时，el+tWe,从而1+tWl,所以TWtWO；当l+t〈0时,e-1一tWe,从而-(1+

5、t)Wl,所以-2Wt〈-1.综上-2WtW0・因为m^2,故m+t^O.故f(m+t)Wem,得em+tWem即存在tw[-2,0],满足etWemem,所以emem^{et}min=e-2,即em-e3mW0令g(x)二ex-e3x,xW[2,+°°),则g‘(x)=ex~e3.当xW(2,3)时，gr(x)<0,g(x)单调递减；当xW(3,+8)时，gz(x)>0,g(x)单调递增.又g(3)二-2e30,由此可见，方程g(X)二0在区间[2,+-)上有唯一解mOu(4,5),•且当xe[2,m0]

6、时g(x)W0,当xe[m0,+^)时g(x)±0•因为m^Z,故mmax=4,此时t二-2.下面证明:f(x-2)二e

7、x-2

8、Wex对任意xe[1,4]恒成立①当xW[l,2]时，即eWxex.因为xW[l,2],所以ex$e,x±l,所以xex2e；②当xG[2,4]时，即ex-2Wex,等价于{ex-2-ex}max^0.令h(x)二ex-2-ex,则h'(x)=ex~2-e,所以h(x)在(2,3)上递减,在(3,4)上递增，所以hmax=max{h(2),h(4)}.而h(2)二l-2e〈0,h

9、(4)=e2~4e<0.综上所述，f(x-2)Wex对任意xE[1,4]恒成立.小结：本题(2)的参考解答用分类讨论思想，不但过程繁琐，而且最后判断整数m时学生极难得出好的办法，即使是老师想要非常轻松的解决这类问题也是谈何容易.下面我们先看一道类似的填空题：例2已知函数f(x)二x2+2x+l,若存在实数t,当xe[l,m]时，f(x+t)Wx恒成立，则实数m的最大值为.分析由小题小解的思想，我们不难看出本题是二次函数经过平移后在［1,01］上的恒成立问题•我们作图如下：将f(x)向右平移t个单位后在［1,

10、IT1］上保持f(x+t)Wx恒成立，即将图象向右平移如图位置时便不能再往右移了，t最人值由图可知为1.此时显然m的最大值为4.图1图2通过这道小题的思想延伸，上述的例1便不再难解答了：先由(1)可知f(x)=e

11、x

12、不难画出其图象，我们发现与f(x)二x2+2x+l的图象十分相似，那么两个题目就是同一个思想：通过图象平移我们立刻可以知道，当右移一个单位后最低点在x二1处时，此时m的值最大，乂m为整数，我们代入点山零点存在定理可知m二4.反思：这两道题的相通之处在于将函数的性质显露无疑，稍微一些通过一些平移

13、变化，便能将一道导数的大题运用数形思想轻松的解决了.这对于学生而言，如果最后一道大题能这样巧解，不但思路更为清晰，解题速度提高，而且学生就不会对解最后一题没有信心，其至产生恐惧.相反会让很多本来就对函数因为抽象、复杂等原因而不敢下手或从未完整解答过最后一题的学生找到了福音.二、斜率露于形，巧解靠导数只要我们留意这样的方法还是十分常见的，在《当代屮学生》上有这样一道小题：例3设F(x)与f(x)都在区间D上有定义，若对于D的任意子区间［u,v］,总有［u,v］上的实数p,q,使得不等式f(p)WF(u)~F(

14、v)u-v^f(q)成立，则称f(x)是F(x)在区间D上的乙函数.已知F(x)二x2-3x,那么F(x)的乙函数f(x)二.图3分析利用图象和对F(u)-F(v)u-v的意义进行深入分析，不难发现，割线的斜率必然可以在区间内找到一个某点处的导数与之相等，由于u,v的任意性及p,q的存在性，f(x)不就是F(x)的导函数吗？引入一些大学的知识只要f(x)连续光滑可导，那么对于任意的u,v,就一定存在te[u,v]