奇数偶数与奇偶性分析

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1、奇数偶数与奇偶性分析人类从数数开始，就一肓和H然数打交道。在长期的认识数的过程屮，人们逐步形成了对数的分类。另外,从研究的角度讲，自然数有无穷多个，不好把握，如果能按一定规律分成若干类，每一类有其通用的性质,则方便多了。本讲就着重介绍垠简单也是最重要的分类：奇偶分类。定义：一个自然数，如果不能被2整除，称它为奇数，通常可用2n+l（n为某一自然数）表示；如果它能被2整除，称它为偶数，通常可用2n來表示。特别的，需要强调0是偶数。运算规律:（1）奇数+奇数二偶数：奇数+偶数二奇数：偶数+偶数二偶数一般地说，奇数个奇数的

2、和为奇数，偶数个奇数的和是偶数；而一组数的和的奇偶性，仅取决于其中奇数的个数的奇偶性。（2）奇数一奇数二偶数；奇数一偶数二奇数；偶数一偶数二偶数；（3）奇数x奇数二奇数；奇数x偶数二偶数；偶数X偶数二偶数；一般地说，若干个奇数的积仍为奇数，而-•组数中只要冇一个偶数，其积就为偶数。（4）如果一个偶数能被奇数整除，则冇：偶数三奇数二偶数所以奇数不能被任何偶数整除。以上运算规则均比较显然，不再证明。有了它们，便可以來解决一些数学问题。需要捉出的是，我们把自然数按奇偶分类，一个重要手段是利用奇数H偶数來证明两数不能相等。【

3、奇数和偶数】例1用1、2、3、4、5这五个数两两和乘，可以得到10个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？讲析：如呆两个整数的积是奇数，那么这两个整数都必须是奇数。在这五个数中，只有三个奇数，两两相乘可以得到3个不同的奇数积。而偶数积共冇7个。所以，乘积中是偶数的多。例2有两组数,甲组：1、3、5、7、9……、23；乙组:2、4、6、8、10、……24,从甲组任意选一个数与乙组任意选出一个数相加，能得到个不同的和。讲析：甲组有12个奇数，乙组有12个偶数。甲组中任意一个数与乙组中任意一个数相加的和，必为奇数，其中最

4、大是47,最小是3。从3到47不同的奇数共冇23个。所以，能得到23个不同的和。本题中,我们不能认为12个奇数与12个偶数任意搭配相加,会得到12X12=144（个）不同的和。因为其中有很多是相同的。【奇偶性分析】例1某班同学参加学校的数学竞赛。试题共50道。评分标准是：答对一道给3分，不答给1分，答错倒扌111分。请你说明：该班同学得分总和一定是偶数。讲析：如果50道题都答对，共可得150分，是一个偶数。每答错一道题，就耍相差4分，不管答错多少道题，4的倍数总是偶数。150减偶数，差仍然是一个偶数。同理，毎不答一道

5、题，就相差2分，不管冇多少道题不答，2的倍数总是偶数，偶数加偶数Z和为偶数。所以，全班每个同学的分数都是偶数。则全班同学的得分Z和也一定是个偶数。例25只杯子杯口全都朝上。规定每次翻转4只杯子，经过若干次厉，能否使杯口全部朝F?讲析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必须翻转奇数次。要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，则翻动的总次数也一定是奇数次才能办得到。现在每次只翻转4只杯子，无论翻多少回，总次数一定是偶数。所以，不能使杯口全部朝下。例3某班共有25个同学。坐成5行5列的方阵。我们想让每个同学都坐到与他和

6、邻的座位上去。（指前、后、左、右），能否做得到？讲析：如图5.44,为了方便，我们将毎一格用A或B表示，也就是与A相邻的用B表示,与B相邻的用A表示。要想使每位同学都坐到相邻座位上去，也就是说坐A座位的同学都要坐到B廉位上去，而坐B座位上的同学都耍坐到A座位上去。ABABABABABABABABABABABABAE5.44但是，A廉位共13个，而B座位共12个，所以，不管怎样坐，要想处A座位的同学都处到B座位上去，是办不到的。例4线段AB的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色。在线段中间插入1991个分点，每个分点随

7、懣标上红色或蓝色。这样分得1992条不重叠的小线段，如果把两端点颜色不同的小线段叫做标准线段，那么标准线段的条数是奇数还是偶数？讲析：每插入一个点，无论其颜色怎样，其非标准线段的条数增加0条或2条，所以插入1991个点后，非标准线段增加总数是一个偶数。乂原非标准线段条数为1,是一个奇数，故最后得到的非标准线段必为奇数。非标准线段条数+标准线段条数=1992条。所以，标准线段的条数是奇数。最小的奇数是1,最小的偶数是0谁都清楚什么是奇数、什么是偶数，可是利用它的性质，你会求一些复杂的数学题吗？请看下而的例题吧!例1：把

8、］,2,3-1992中的各个数都用加号或者减号连起来，它们的运算结果是奇数还是偶数?分析：根据加减运算中的奇偶性规律分析，运算结果的奇偶性与所填运算符号无关，只与参与运算的数屮奇数的个数冇关，即在算式里如果冇偶数个奇数，那么运算结果一定是偶数；如果冇奇数个奇数，运算结果一定是奇数。只要数-•数奇数的个数，就可以确定其结果是奇数还是偶数了。解：1