中考数学命题技巧，方法研究--烙饼

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1、教参解答：（1）因为等腰三角形是轴对称图形，如图1所示：呈等腰三和形ABC的饼翻身后所得到的/DEF与原來的三角形铁皮ABC全等——能够重合.（2）因为直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形，由（1）可知，问题能得到解决，如图2.（3）如图3作ZABC的高AD,乂可把ZABC分成两个直角三角形，由（2）可知，问题能够解决.本题很有趣味，充分考查了等腰三角形的轴対称性质，対于笫（2）、（3）问的处理都是通过构造等腰三角形來完成，具屮笫（3）问的处理方法为我们捉供了一•般的构造等腰三角形的

2、方法，但是这种方法“切”了三刀，是否一定要切三刀？能否少切呢？常见的三角形、四边形、多边形形状的“饼”究竟需要切儿刀可以“翻身”，问题的木质其实就是怎样把图形“分割”构造成等腰三角形或其他轴对称图形.探究1：是不是所有三角形“饼”都可以“一刀切”完成“翻身”呢？如果不是，满足什么条件就可以？一个三角形切一刀后所得的两部分冇两种可能：①都是三角形；②一个三角形，一个四边形.先考虑切后两块都是三角形的情况，显然，不是所有的三角形都是可以“一刀切”成两个等腰三角形的，所有不能完成“翻身”.但满足以下条件的三

3、角形可以一刀切成两个等腰三角形：1.肓角三角形：如图2,对所有肓角三角形只要作斜边的屮线就可以把它分割成两个等腰三角形；2.当三角形中有一个角是另一个角的2倍时町以“一刀切”，如图4,ZABC=2ZACB=2a（0°<«<45°）,只要过点A在ZBAC的内部作ZDAC=a即可.即作线段AD就可把三角形分割成两个等腰三角形了.3.当三角形屮有一个角是另一个角的3倍时可以“一刀切”，如图5,ZABC=3ZACB=3a（0°

4、中，它们的内角分别为：（1）20°,40°,120°；（2）20°,60°,100°.怎样把每个三角形分成两个等腰三角形？试呵出图形.第（1）题分别满足一个角是另一个角的2倍和3倍，所以有两解；第（2）题-个角是另一个角的3倍，仿照图5即可画出.事实上，“一刀切”冇两种切法：%1三内角之比为1:3:4；%1三内角之比为1:2:6.再考虑切后两部分一个是三角形，另一个是四边形的情况.如图7,当切后的两部分一个是等腰三角形，另一个是成轴对称的筝形时，可以完成“翻身”.即图屮的ZBDE,四边形ADEC分别是

5、等腰三角形和关于直线CD成轴对称的四边形，这时可以“翻身”•探究2：对仟意三角形“饼”是否可以切“两刀”完成“翻身”呢？答案是肯定的.如图8,对锐角三角形，作AD丄BC,共切3刀；AD、DE、DF就可以完成翻身，但这时最少可以只切2刀，即图7中只要找出高AD的垂足D,而不必切这一刀，这是因为图中四边形AEDF是轴对称图形，翻身后仍能与原來重合.对钝角三角形，则必须作最长边上的高，然后按照上述步骤完成.探究3：三用形形状的“饼”可以切2刀完成“翻身”，是否任意三角形也可以切2刀分成儿个等腰三角形呢？如果

6、不能，3刀呢？对任意的三角形不能通过切2刀完成分割成几个等腰三角形，但是由上例图8知道，3刀一定能完成，除此之外，还可以作三角形的外心，外心和三个顶点的连线构成的三角形都是等腰三角形.探究4：试着改变“饼”的形状，如果是四边形，满足怎样的条件就可以翻身呢？讨论遵循从特殊到一•般的顺序进行：1•饼的形状是正方形、菱形、矩形、等腰梯形、成轴对称的筝形时，因为它们都是轴对称图形，所以不用切就可以翻身.2.饼的形状是平行四边形吋，有如下几种特殊平行四边形可以通过切一刀完成翻身（这里只研究一刀切的情况）：（1）

7、如果满足AD二AC二BC,则可以通过切1刀（AC）完成翻身（如图9）；（2）如果满足AB=2AD,则可以切一刀MN把平行四边形切成两个菱形完成翻身（如图10）；（3）如果满足直线MN把平行四边形分成两个等腰梯形也可以翻身（如图11）；（4）如杲满足肓•线MN把平行四边形分成一个等腰三角形和一个等腰梯形也可以完成翻身（如图12）.对一般的平行四边形，没有什么规律可供选择，不妨这样考虑，思考能否在平行四边形内部找点P，使得PA,PB,PC,PD连线纟R成的四个三角形都是等腰三角形呢？分析：先考查对角线的交

8、点是否符合条件，如图13,若ZAPB是锐介，那么ZAPD就是饨角，这样Z1APD也不可能构成等腰三角形，因为若PD二AD,三角形两个底和为钝角了，矛盾，所有对角线交点不符合.再來考查当点P不是对角线交点的情况：如图14,在口ABCD中，AB=AP=PD=CD,但是BPHBC,因为若BP=BC,则PC的垂直平分线必过点B和D点，这样B,P,D三点共线，OABCD就成为正方形了，综上所述，对于平行四边形没有这样的点存在.3.对于一•般的四边形，除非是特殊情况