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《第六章 数学期望与方差》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、计算机数学基础授课教师：林四海联系方式：TEL：QQ：25463906613850094922一、数学期望的概念二、数学期望的性质*三、随机变量函数的数学期望四、小结6.2.1数学期望及其性质6.2随机变量的数字特征引例1分赌本问题(产生背景)A,B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?一、数学期望的概念A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局,AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况
2、:AAABBABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负因此,A能“期望”得到的数目应为而B能“期望”得到的数目,则为故有,在赌技相同的情况下,A,B最终获胜的可能性大小之比为即A应获得赌金的而B只能获得赌金的因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:其概率分别为:1.离散型随机变量的数学期望试问哪个射手技术较好?实例1谁的技术比较好?乙射手甲射手解故甲射手的技术比较好.实例2发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票10万张,每张2元.设头
3、等奖1个,奖金1万元,二等奖2个,奖金各5千元;三等奖10个,奖金各1千元;四等奖100个,奖金各100元;五等奖1000个,奖金各10元.每张彩票的成本费为0.3元,请计算彩票发行单位的创收利润.解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为到站时刻概率实例3解2.连续型随机变量数学期望的定义解因此,顾客平均等待5分钟就可得到服务.实例4顾客平均等待多长时间?设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分布,其概率密度为试求顾客等待服务的平均时间?定积分的分部积分法例如计算解:原式=一般的说，如果被积函数
4、是两类基本初等函数的乘积，在多数情况下，可按顺序：指数函数、三角函数、幂函数、对数函数、反三角函数。将排在前面的那类函数选作1.设C是常数,则有证明2.设X是一个随机变量,C是常数,则有证明例如二、数学期望的性质4.设X,Y是相互独立的随机变量,则有3.设X,Y是两个随机变量,则有证明说明连续型随机变量X的数学期望与离散型随机变量数学期望的性质类似.解实例51.离散型随机变量函数的数学期望解*三、随机变量函数的数学期望设随机变量X的分布律为则有因此离散型随机变量函数的数学期望为若Y=g(X),且则有实例6解实例7解因此期望所得为四、小结数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般
5、的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质一、随机变量方差的概念及性质三、例题讲解二、重要概率分布的方差四、小结6.2.2方 差1.概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值分散程度的量.实例有两批灯泡,其平均寿命都是E(X)=1000小时.一、随机变量方差的概念及性质2.方差的定义方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.3.方差的意义离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差4.随机变量方差的计算(1)利用
6、定义计算证明(2)利用公式计算证明5.方差的性质(1)设C是常数,则有(2)设X是一个随机变量,C是常数,则有证明(3)设X,Y相互独立,D(X),D(Y)存在,则证明推广1.两点分布已知随机变量X的分布律为则有二、重要概率分布的数学期望方差2.二项分布设随机变量X服从参数为n,p二项分布,(即)其分布律为令表示第i次试验中事件A发生的次数，是相互独立的，则有，其中服从同一0—1分布。所以有3.泊松分布则有所以4.均匀分布则有结论均匀分布的数学期望位于区间的中点.5.指数分布则有设其概率密度为结论：指数分布的期望和方差分别为和6.正态分布则有分 布参数数学期望方差两点分布二项分布泊松分布
7、均匀分布指数分布正态分布解：三、例题讲解例1于是解例2解例3解例4契比雪夫不等式证明取连续型随机变量的情况来证明.切比雪夫不等式得四、小结方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随机变量的代表性好.2.方差的计算公式3.方差的性质4.契比雪夫不等式PafnutyChebyshevBorn:16Ma
