浅谈积分的计算技巧_代武龙

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1、%本科生毕业论丈浅谈稅分的廿算枝听数学・应用数学班级092JI姓名代武龙学号094131202笞辩时间2013年5月新僵农业大学数理学院摘要11不定积分和定积分的介绍22不定积分的计算方法及其技巧22.1直接积分法22.1第一类换元积分法22.2第二类换元积分法22.3分部积分法43定积分的计算方法及其技巧53.1分项积分法53.2分段积分法63.3分咅E积分法63.4欧拉积分在定积分中的计算73.5用二重积分求解定积分83.6反函数法求解定积分83.7含有绝对值符号的定积分的计算104结论14参考文献15谢辞16浅谈积分的计算技巧代武龙指导教师：李轮溟摘要：积分是微积分

2、学的一个重要内容，而掌握积分的计算方法及其技巧是必要的。文章介绍了积分的计算方法及其技巧，分别对定积分和不定积分进行讨论，介绍了常见的分部积分法、换元积分法、分段积分法等。对于一些不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求岀原函数的，从而无法直接用牛顿-莱布尼兹公式求解，针对这种情形，介绍了用欧拉积分、二重积分、反函数等求解积分的方法及技巧。关键词：积分；计算技巧；欧拉积分定积分和不定积分的思想在古代数学家的工作中，就己经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米徳在公元前240年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。公元263年我国刘徽提出

3、的割圆术，也是同一思想。在历史上，积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前(17世纪下半叶)，有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的能积分理论还未能形成，直到牛顿一莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立发展起来。1不定积分和定积分的介绍定积分与不定积分有密切联系(牛顿一莱布尼兹定理揭示了其联系)。但两者是两个完全不同的概念，有着很大的区别，从最后结果上看定积分是一个数值不定积分是一簇函数，而且定积分有明显的几何、物理等方面的实际意义，其内容非常丰富。两种积分的存在性是相同的。由于不定积分的存在性较难讨论，我们一般是通过被积函

4、数在任意区间上的定积分是否存在来讨论函数是否“可积”的。以下分为不定积分和定积分分别介绍：2不定积分的计算方法及其技巧2.1直接积分法对一些简单函数的求积问题，我们利用不定积分的性质和基本积分公式，跟快就可以得出结果。例1求j(l+x}dx解J(1+xfdx=j(l+2x+x2lx2.2第一类换元积分法设f(u)具有原函数F(u)o则其中0(兀)可微。有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求

5、导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。斤Ia、【&&f1+Inx-例彳计算后严解因为有(xlnx)f=1+ln兀，所以1+lnxx(lnx)2dx=Jdxx(xlnx)21xx2.3第二类换元积分法设x=(p⑴是单调、可导的函数，并且0⑴工0乂设具有原函数,则有换元公式J7(x)dx=[处)]0(0力第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。第二换元积分法还可以用于解决被积函数带根式的不定积分。被积函数包含ax+b,处理方法是令目ax+b=t,x=丄(广-b)；a被积函数包含-Ja2-x2(a>0),处理方法是令兀=sin/或尢二cos/;被积函数包含7^/2+x2

6、(a>0),处理方法是令x=tanr;被积函数包含^x2-a2(a>0),处理方法是令x=seer;常用的变量替换有：①三角替换；②幕函数替换；③指数函数替换④倒替换.例3计算戸Qx—7x一6仮+存+呻2.4分部积分法当积分“(兀)dg(x)不好计算，但Jg(x)df(x)容易计算时，使用分部积分公式:J7(x)dg(x)=/(x)g(x)-Jg(x)Qf(x)・分部积分法采用迂刨的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：(1)降低多项式部分的系数(2)简化被积函数的类型例4计算farcsin2xdx解farcsin=xs

7、in2x-fx2arcsinx,dx=xarcsinx+j2arcsinxd71-x2=xarcsinx+2^1-x2arcsinx-JJ1一兀，』?「dx=xarcsinx+2Jl—兀'arcsinx-2x+C常见能使用分部积分法的类型:(1)^xnexdx,sinxdx,cosxdxA^yf方法是把ev,sinx,cosx移到d后面，分部积分的冃的是降低x的次数.⑵卜"lnwxdx,Jx"arcsin"xdx,arctanxdx等,方法是把xn移到d后面，分部儿分的日的是化去In兀,arcsinX,arctanx.2.定积